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Nombres complexes et algèbre Exercices

Nombres complexes – Bac S Métropole 2015

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

  1. Résoudre dans l'ensemble $ \mathbb{C} $ des nombres complexes l'équation $ (E) $ d'inconnue $ z $ :

    $ z^2 - 8z+64 = 0. $

    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right) $.

  2. On considère les points $ A $, $ B $ et $ C $ d'affixes respectives $ a = 4+4\text{i}\sqrt{3} $,

    $ b = 4 - 4\text{i}\sqrt{3} $ et $ c = 8\text{i} $.

    1. Calculer le module et un argument du nombre $ a $.
    2. Donner la forme exponentielle des nombres $ a $ et $ b $.
    3. Montrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont sur un même cercle de centre $ O $ dont on déterminera le rayon.
    4. Placer les points $ A $, $ B $ et $ C $ dans le repère $ \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right) $.

  3. Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.

    On considère les points $ A^\prime $, $ B^\prime $ et $ C^\prime $ d'affixes respectives $ a^\prime = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $, $ b^\prime = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $ et $ c^\prime = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $.

    1. Montrer que $ b^\prime = 8 $.
    2. Calculer le module et un argument du nombre $ a^\prime $.

  4. Pour la suite on admet que $ a^\prime = - 4+4\text{i}\sqrt{3} $ et $ c^\prime = - 4\sqrt{3}+4\text{i} $.

    On admet que si $ M $ et $ N $ sont deux points du plan d'affixes respectives $ m $ et $ n $ alors le milieu $ I $ du segment $ [MN] $ a pour affixe $ \dfrac{m+n}{2} $ et la longueur $ MN $ est égale à $ |n - m| $.

    1. On note $ r $, $ s $ et $ t $ les affixes des milieux respectifs $ R $, $ S $ et $ T $ des segments $ [A^\prime B] $, $ [B^\prime C] $ et $ [C^\prime A] $.

      Calculer $ r $ et $ s $. On admet que $ t = 2 - 2\sqrt{3}+\text{i}\left(2+2\sqrt{3}\right) $.

    2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle $ RST $ ?

      Justifier ce résultat.

Corrigé

  1. Le discriminant de l'équation $ (E) $ est :

    $ \Delta = ( - 8)^2 - 4 \times 64 = 64 - 4 \times 64= - 3 \times 64 $

    $ \Delta $ est strictement négatif donc l'équation $ (E) $ admet deux racines complexes conjuguées :

    $ z_1=\dfrac{8 - 8i\sqrt{3}}{2}=4 - 4i\sqrt{3} $

    $ z_2=\overline{z_1}=4+4i\sqrt{3} $

    1. $ |a|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8 $

      Soit $ \theta $ un argument de $ a $ :

      $ \cos \theta=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} $

      $ \sin \theta=\dfrac{4\sqrt{3}}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

      donc $ \theta = \dfrac{\pi}{3} $ (modulo $ 2\pi $).

    2. La forme exponentielle de $ a $ est $ a=8 e^{i \frac{\pi}{3}} $.

      $ b $ étant le conjugué de $ a $, il a le même module et des arguments opposés.

      $ b=\overline{a}=8 e^{ - i \frac{\pi}{3}} $

    3. $ OA=|a|=8 $

      $ OB=|b|=8 $

      $ OC=|c|=|8i|=8|i|=8 $

      Les points $ A $, $ B $ et $ C $ appartiennent au cercle de centre $ O $ et de rayon $ 8 $.

    4. Plan complexe avec points A, B, C sur le cercle de centre O et de rayon 8
    1. $ b^{\prime}=b e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{ - i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{ - i \frac{\pi}{3}+i \frac{\pi}{3}}=8 e^{0i}=8 $

    2. $ a^{\prime}=a e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{2i \frac{\pi}{3}} $

      Le module de $ a^{\prime} $ est $ 8 $ et un de ses arguments est $ \dfrac{2\pi}{3} $

    1. $ R $ étant le milieu du segment $ [A^{\prime}B] $ :

      $ r=\dfrac{a^{\prime}+b}{2}=\dfrac{ - 4+4i\sqrt{3}+4 - 4i\sqrt{3}}{2}=0 $

      De même, $ S $ est le milieu du segment $ [B^{\prime}C] $ donc :

      $ s=\dfrac{b^{\prime}+c}{2}=\dfrac{8+8i}{2}=4+4i $

    2. D'après la figure ci-dessous, le triangle $ RST $ semble équilatéral.

      Plan complexe avec les points A B C A' B' C' et le triangle equilateral RST

      Montrons que c'est bien le cas.

      $ RS=|s - r|=|4+4i|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2} $.

      $ ST=|t - s|=\left| - 2 - 2\sqrt{3}+i\left( - 2+2\sqrt{3}\right)\right| $

      $ ST=\sqrt{\left( - 2 - 2\sqrt{3}\right)^2+\left( - 2+2\sqrt{3}\right)^2} $

      $ ST=\sqrt{4+8\sqrt{3}+12+4 - 8\sqrt{3}+12} $

      $ ST=\sqrt{32}=4\sqrt{2} $.

      $ RT=|t - r| = \left| 2 - 2\sqrt{3}+i\left(2+2\sqrt{3}\right)\right| $

      $ RT=\sqrt{\left(2 - 2\sqrt{3}\right)^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)^2} $

      $ RT=\sqrt{4 - 8\sqrt{3}+12+4+8\sqrt{3}+12} $

      $ RT=\sqrt{32}=4\sqrt{2} $.

      Les trois côtés sont égaux donc $ RST $ est un triangle équilatéral.

→ Pour réviser : Calculer le module et un argument d'un nombre complexe