Limites d'une fonction
Exercices
Limites fonction rationnelle
15 minutes
Votre progression
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs travaillés
Soit la fonction $ f $ définie sur $ \left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left] - 1 ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ $ par :
$ f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x^{2} - 1} $
Déterminer les limites de $ f $ aux bornes de son ensemble de définition. (Il y a 6 limites à calculer)
Quelles sont les asymptotes (horizontales et verticales) à la courbe représentative de $ f $ ?
Corrigé
- En $ +\infty $ et $ - \infty $ :
On a une forme indéterminée du type «$ \dfrac{\infty}{\infty} $» (voir Méthode : Formes indéterminées)
On factorise par $ x $ au numérateur et $ x^{2} $ au dénominateur :
$ f\left(x\right)=\dfrac{x\left(1+2/x\right)}{x^{2}\left(1 - 1/x^{2}\right)}=\dfrac{1+2/x}{x\left(1 - 1/x^{2}\right)} $
Lorsque $ x\rightarrow \pm \infty $ le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers $ \pm \infty $ donc :
$ \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty }f\left(x\right)=0 $
Remarque : On peut aussi écrire : $ \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac{x+2}{x^{2} - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac{x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac{1}{x}=0 $ - En $ - 1 $ et $ +1 $
Le dénominateur tend vers zéro ; on a une limite du type «$ \dfrac{k}{0} $ » (voir Méthode : limite « k/0 »)
On peut écrire $ f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)} $
Si $ x\rightarrow - 1 $ et $ x < - 1 $ :
$ x+2 > 0 $ (tend vers $ 1 $)
$ x - 1 < 0 $ (tend vers $ - 2 $)
$ x+1 < 0 $ (car $ x < - 1 $)
donc $ \lim\limits_{x\rightarrow - 1^ - }f\left(x\right)=+\infty $
Si $ x\rightarrow - 1 $ et $ x > - 1 $ :
$ x+2 > 0 $ (tend vers $ 1 $)
$ x - 1 < 0 $ (tend vers $ - 2 $)
$ x+1 > 0 $ (car $ x > - 1 $)
donc $ \lim\limits_{x\rightarrow - 1^+}f\left(x\right)= - \infty $
Si $ x\rightarrow 1 $ et $ x < 1 $ :
$ x+2 > 0 $ (tend vers $ 3 $)
$ x+1 > 0 $ (tend vers $ 2 $)
$ x - 1 < 0 $ (car $ x < 1 $)
donc $ \lim\limits_{x\rightarrow +1^ - }f\left(x\right)= - \infty $
Si $ x\rightarrow 1 $ et $ x > 1 $ :
$ x+2 > 0 $ (tend vers $ 3 $)
$ x+1 > 0 $ (tend vers $ 2 $)
$ x - 1 > 0 $ (car $ x > 1 $)
donc $ \lim\limits_{x\rightarrow +1^+}f\left(x\right)=+\infty $
La courbe représentative de $ f $ admet :
- une asymptote horizontale d'équation $ y=0 $
- deux asymptotes verticales d'équations $ x= - 1 $ et $ x=1 $
