Vérifier si un triangle est constructible
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Pour vérifier si trois longueurs données permettent de construire un triangle, on utilise l'inégalité triangulaire.
- Identifier la plus grande des trois longueurs.
- Calculer la somme des deux autres longueurs.
- Comparer : si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres, le triangle est constructible. Sinon, il ne l'est pas.
Remarque
Il suffit de faire une seule comparaison : celle qui porte sur le plus grand côté. Si celle-ci est vérifiée, les deux autres inégalités le sont automatiquement.
Exemples
Triangle non constructible
Peut-on construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 2$ cm, $AC = 3$ cm et $BC = 8$ cm ?
Étape 1 : Le plus grand côté est $BC = 8$ cm.
Étape 2 : On calcule la somme des deux autres côtés :
$AB + AC = 2 + 3 = 5$ cm
Étape 3 : On compare : $8 > 5$, donc $BC > AB + AC$.
L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée : le triangle $ABC$ n'est pas constructible.
Triangle constructible
Peut-on construire un triangle $DEF$ tel que $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm et $DF = 9$ cm ?
Étape 1 : Le plus grand côté est $DF = 9$ cm.
Étape 2 : On calcule la somme des deux autres côtés :
$DE + EF = 5 + 7 = 12$ cm
Étape 3 : On compare : $9 < 12$, donc $DF < DE + EF$.
L'inégalité triangulaire est vérifiée : le triangle $DEF$ est constructible.
Cas limite
Peut-on construire un triangle $GHI$ tel que $GH = 3$ cm, $HI = 4$ cm et $GI = 7$ cm ?
Étape 1 : Le plus grand côté est $GI = 7$ cm.
Étape 2 : $GH + HI = 3 + 4 = 7$ cm
Étape 3 : $GI = GH + HI$ : les trois points seraient alignés. L'inégalité triangulaire demande une inégalité stricte, donc le triangle $GHI$ n'est pas constructible (les trois points sont alignés).
Attention
- L'inégalité doit être stricte : si le plus grand côté est égal à la somme des deux autres, les trois points sont alignés et il n'y a pas de triangle.
- Ne pas confondre les côtés avec les angles : l'inégalité triangulaire porte sur les longueurs, pas sur les mesures d'angles.