Vérifier si un nombre est premier
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Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $ 2 $ qui n'est divisible que par $ 1 $ et par lui-même.
Exemples : $ 2, 3, 5, 7, 11, 13 $ sont des nombres premiers. $ 4 = 2 \times 2 $ et $ 15 = 3 \times 5 $ ne sont pas des nombres premiers.
Méthode
Pour vérifier si un entier $ N \geq 2 $ est premier :
- Calculer (ou estimer) $ \sqrt{N} $.
- Tester si $ N $ est divisible par chacun des entiers de $ 2 $ jusqu'à $ \sqrt{N} $ (en s'aidant des critères de divisibilité par $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $...).
- Si aucun de ces entiers ne divise $ N $, alors $ N $ est premier. Sinon, $ N $ est composé (non premier).
Vérifier si 97 est un nombre premier
On veut savoir si $ 97 $ est premier.
Étape 1 : On estime $ \sqrt{97} \approx 9{,}8 $. Il faut donc tester les entiers de $ 2 $ à $ 9 $.
Étape 2 : On teste les diviseurs possibles :
- $ 97 \div 2 $ : $ 97 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 97 \div 3 $ : $ 9 + 7 = 16 $, non divisible par $ 3 $.
- $ 97 \div 5 $ : $ 97 $ ne se termine ni par $ 0 $ ni par $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 97 \div 7 \approx 13{,}8 $ : non entier, donc non divisible par $ 7 $.
Aucun entier de $ 2 $ à $ 9 $ ne divise $ 97 $, donc $ 97 $ est un nombre premier.
Vérifier si 91 est un nombre premier
On veut savoir si $ 91 $ est premier.
Étape 1 : On estime $ \sqrt{91} \approx 9{,}5 $. Il faut donc tester les entiers de $ 2 $ à $ 9 $.
Étape 2 : On teste les diviseurs possibles :
- $ 91 \div 2 $ : $ 91 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 91 \div 3 $ : $ 9 + 1 = 10 $, non divisible par $ 3 $.
- $ 91 \div 5 $ : $ 91 $ ne se termine ni par $ 0 $ ni par $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 91 \div 7 = 13 $ : entier ! $ 91 $ est divisible par $ 7 $.
$ 91 $ n'est pas un nombre premier : $ 91 = 7 \times 13 $.
Remarque
On n'a besoin de tester que les diviseurs premiers jusqu'à $ \sqrt{N} $. En pratique pour les nombres du collège, on teste successivement $ 2, 3, 5, 7, 11, 13... $
Pour tester rapidement la divisibilité :
- Divisible par $\mathbf{2}$ : le nombre est pair (dernier chiffre pair).
- Divisible par $\mathbf{3}$ : la somme des chiffres est divisible par $ 3 $.
- Divisible par $\mathbf{5}$ : le nombre se termine par $ 0 $ ou par $ 5 $.
Attention
$ 1 $ n'est pas un nombre premier (par définition, un nombre premier est supérieur ou égal à $ 2 $).
De plus, il suffit de tester les diviseurs jusqu'à $ \sqrt{N} $ et non jusqu'à $ N \div 2 $ : si $ N $ avait un diviseur $ d > \sqrt{N} $, alors $ \dfrac{N}{d} < \sqrt{N} $ serait un diviseur plus petit, déjà testé.