Code d’accès d’un coffre-fort
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Le code d'accès d'un coffre-fort est un nombre à quatre chiffres $ \overline{abcd} $ (c'est-à-dire le nombre dont le chiffre des milliers est $ a $, le chiffre des centaines est $ b $, le chiffre des dizaines est $ c $ et le chiffre des unités est $ d $) vérifiant toutes les conditions suivantes :
- Les quatre chiffres $ a $, $ b $, $ c $ et $ d $ sont tous des nombres premiers à un chiffre.
- Le premier chiffre $ a $ est impair.
- Le produit $ a \times b $ est égal à $ 6 $.
- La somme des quatre chiffres vaut $ 12 $.
- Le chiffre $ c $ est strictement supérieur au chiffre $ d $.
- Le nombre $ \overline{abcd} $ est pair.
- Quels sont les nombres premiers à un chiffre ? Parmi eux, lequel est pair ?
- Justifier que $ d = 2 $.
- En utilisant la condition sur le produit $ a \times b $, déterminer les valeurs possibles du couple $ (a ; b) $.
- À l'aide de la condition sur $ a $, en déduire les valeurs de $ a $ et $ b $.
- Déterminer le chiffre $ c $, puis donner le code $ \overline{abcd} $.
Corrigé
Les nombres premiers à un chiffre sont : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.
Parmi eux, le seul nombre pair est $\mathbf{2}$.
Le nombre $ \overline{abcd} $ est pair, donc son chiffre des unités $ d $ est pair.
Or $ d $ doit être un nombre premier à un chiffre, et le seul nombre premier pair est $ 2 $.
Donc $\mathbf{d = 2}$.
On cherche $ a $ et $ b $ parmi $ \{2 ; 3 ; 5 ; 7\} $ tels que $ a \times b = 6 $.
On teste les produits possibles :
- $ 2 \times 3 = 6 $ : convient
- $ 3 \times 2 = 6 $ : convient
- Tous les autres produits de deux éléments de $ \{2 ; 3 ; 5 ; 7\} $ sont différents de $ 6 $ (par exemple $ 2 \times 5 = 10 $, $ 2 \times 7 = 14 $, $ 3 \times 5 = 15 $, etc.).
Les couples possibles sont donc $ (a ; b) = (2 ; 3) $ ou $ (a ; b) = (3 ; 2) $.
La condition impose que $ a $ est impair. Or $ 2 $ est pair et $ 3 $ est impair.
Donc $ a = 3 $ et $ b = 2 $.
La somme des quatre chiffres vaut $ 12 $, donc :
$ c = 12 - a - b - d = 12 - 3 - 2 - 2 = 5 $
Vérifions : $ 5 $ est bien un nombre premier à un chiffre et $ c = 5 > 2 = d $, ce qui est bien le cas.
Le code est $\mathbf{\overline{abcd} = 3252}$.