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Division euclidienne - Nombres premiers - PGCD Exercices

Conjecture de Lemoine

Durée estimée
20 minutes
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Objectif travaillé

En 1895, le mathématicien Émile Lemoine a formulé la conjecture suivante :

Conjecture de Lemoine

Tout nombre entier impair supérieur ou égal à $ 7 $ peut s'écrire sous la forme $ p + 2q $, où $ p $ et $ q $ sont deux nombres premiers (pas nécessairement distincts).

On rappelle que les premiers nombres premiers sont : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, $ 11 $, $ 13 $, $ 17 $, $ 19 $, $ 23 $, $ 29 $, $ 31 $, $ 37 $, $ 41 $, $ 43 $, $ 47 $.

  1. Vérifier la conjecture pour $ 7 $, $ 11 $ et $ 15 $ en trouvant pour chacun une décomposition $ p + 2q $.
  2. Trouver toutes les décompositions possibles de $ 21 $ sous la forme $ p + 2q $ avec $ p $ et $ q $ premiers.
  3. Trouver toutes les décompositions possibles de $ 45 $ sous la forme $ p + 2q $ avec $ p $ et $ q $ premiers.
  4. Parmi les nombres impairs de $ 7 $ à $ 25 $, lequel admet le plus de décompositions ? Les donner toutes.

Corrigé

  1. Pour $ 7 $ : $ 7 = 3 + 2 \times 2 $, avec $ p = 3 $ et $ q = 2 $ tous deux premiers.

    Pour $ 11 $ : $ 11 = 5 + 2 \times 3 $, avec $ p = 5 $ et $ q = 3 $ premiers.

    (On pouvait aussi écrire $ 11 = 7 + 2 \times 2 $.)

    Pour $ 15 $ : $ 15 = 11 + 2 \times 2 $, avec $ p = 11 $ et $ q = 2 $ premiers.

    (On pouvait aussi écrire $ 15 = 5 + 2 \times 5 $.)

  2. On cherche tous les couples $ (p, q) $ de nombres premiers tels que $ p + 2q = 21 $, soit $ p = 21 - 2q $.

    On teste les nombres premiers $ q $ tels que $ 2q < 21 $, c'est-à-dire $ q \leqslant 10 $ :

    • $ q = 2 $ : $ p = 21 - 4 = 17 $, qui est premier, d'où $ 21 = 17 + 2 \times 2 $
    • $ q = 3 $ : $ p = 21 - 6 = 15 = 3 \times 5 $, qui n'est pas premier
    • $ q = 5 $ : $ p = 21 - 10 = 11 $, qui est premier, d'où $ 21 = 11 + 2 \times 5 $
    • $ q = 7 $ : $ p = 21 - 14 = 7 $, qui est premier, d'où $ 21 = 7 + 2 \times 7 $

    Les décompositions de $ 21 $ sont : $ 17 + 2 \times 2 $, $ 11 + 2 \times 5 $ et $ 7 + 2 \times 7 $ (trois décompositions).

  3. On cherche $ p = 45 - 2q $ premier, avec $ q $ premier et $ q \leqslant 22 $ :

    • $ q = 2 $ : $ p = 41 $, premier, d'où $ 45 = 41 + 2 \times 2 $
    • $ q = 3 $ : $ p = 39 = 3 \times 13 $, non premier
    • $ q = 5 $ : $ p = 35 = 5 \times 7 $, non premier
    • $ q = 7 $ : $ p = 31 $, premier, d'où $ 45 = 31 + 2 \times 7 $
    • $ q = 11 $ : $ p = 23 $, premier, d'où $ 45 = 23 + 2 \times 11 $
    • $ q = 13 $ : $ p = 19 $, premier, d'où $ 45 = 19 + 2 \times 13 $
    • $ q = 17 $ : $ p = 11 $, premier, d'où $ 45 = 11 + 2 \times 17 $
    • $ q = 19 $ : $ p = 7 $, premier, d'où $ 45 = 7 + 2 \times 19 $

    Les décompositions de $ 45 $ sont au nombre de six : $ 41 + 2 \times 2 $, $ 31 + 2 \times 7 $, $ 23 + 2 \times 11 $, $ 19 + 2 \times 13 $, $ 11 + 2 \times 17 $ et $ 7 + 2 \times 19 $.

  4. Comptons les décompositions pour chaque nombre impair de $ 7 $ à $ 25 $ :

    • $ 7 = 3 + 2 \times 2 $ : 1 décomposition
    • $ 9 = 5 + 2 \times 2 $ ou $ 3 + 2 \times 3 $ : 2 décompositions
    • $ 11 = 7 + 2 \times 2 $ ou $ 5 + 2 \times 3 $ : 2 décompositions
    • $ 13 = 3 + 2 \times 5 $ ou $ 7 + 2 \times 3 $ : 2 décompositions
    • $ 15 $ : $ q = 2, p = 11 $ (premier) et $ q = 5, p = 5 $ (premier), soit 2 décompositions
    • $ 17 $ : $ q = 2, p = 13 $ (premier), $ q = 3, p = 11 $ (premier), $ q = 5, p = 7 $ (premier), soit 3 décompositions
    • $ 19 $ : $ q = 3, p = 13 $ (premier) et $ q = 7, p = 5 $ (premier), soit 2 décompositions
    • $ 21 $ : 3 décompositions (voir question 2)
    • $ 23 $ : $ q = 2, p = 19 $ (premier), $ q = 3, p = 17 $ (premier), $ q = 5, p = 13 $ (premier), soit 3 décompositions
    • $ 25 $ : $ q = 3, p = 19 $ (premier), $ q = 7, p = 11 $ (premier), $ q = 11, p = 3 $ (premier), soit 3 décompositions

    Les nombres $ 17 $, $ 21 $, $ 23 $ et $ 25 $ admettent chacun 3 décompositions, ce qui est le maximum sur cet intervalle.

    Par exemple, pour $ 23 $ : $\mathbf{23 = 19 + 2 \times 2 = 17 + 2 \times 3 = 13 + 2 \times 5}$.