Utiliser le triangle de Pascal
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Pour calculer un coefficient binomial à l'aide du triangle de Pascal :
- Étape 1 : Construire le triangle en commençant par les bords : chaque ligne commence et finit par $ 1 $.
- Étape 2 : Compléter chaque case intérieure en additionnant les deux nombres situés juste au-dessus (relation de Pascal).
- Étape 3 : Lire le coefficient $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $ à la ligne $ n $, colonne $ p $.
Remarque
La relation de Pascal utilisée à l'étape 2 est :
Chaque nombre est la somme des deux nombres de la ligne précédente situés juste au-dessus de lui.
Construire les premières lignes
Construire le triangle de Pascal pour $ n $ allant de 0 à 5.
Étape 1 : On place des 1 aux extrémités de chaque ligne :
| $ n = 0 $ | 1 | |||||
| $ n = 1 $ | 1 | 1 | ||||
| $ n = 2 $ | 1 | . | 1 | |||
| $ n = 3 $ | 1 | . | . | 1 | ||
| $ n = 4 $ | 1 | . | . | . | 1 | |
| $ n = 5 $ | 1 | . | . | . | . | 1 |
Étape 2 : On complète les cases intérieures :
| $ n = 0 $ | 1 | |||||
| $ n = 1 $ | 1 | 1 | ||||
| $ n = 2 $ | 1 | 2 | 1 | |||
| $ n = 3 $ | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| $ n = 4 $ | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| $ n = 5 $ | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Par exemple : à la ligne $ n = 4 $, le 6 s'obtient par $ 3 + 3 $ (les deux nombres au-dessus dans la ligne $ n = 3 $).
Étape 3 : On lit par exemple $ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 10 $ (ligne 5, colonne 2).
Calculer un coefficient sans formule
Calculer $ \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} $ à l'aide du triangle de Pascal.
On prolonge le triangle d'une ligne :
Étape 2 : À partir de la ligne $ n = 5 $ (1, 5, 10, 10, 5, 1), on calcule la ligne $ n = 6 $ :
$ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 $
En effet : $ 1+5 = 6 $, $ 5+10 = 15 $, $ 10+10 = 20 $, $ 10+5 = 15 $, $ 5+1 = 6 $.
Étape 3 : On lit $ \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} $ à la colonne $ p = 3 $ :
Attention
Attention au décalage de numérotation : la première ligne du triangle correspond à $ n = 0 $ et la première colonne à $ p = 0 $. Ne pas commencer à compter à partir de 1.