Utiliser un tableau à double entrée pour calculer une probabilité
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Lorsqu'une population est classée selon deux caractères (ou qu'une expérience comporte deux épreuves), on peut organiser les données dans un tableau à double entrée :
- Étape 1 : Placer les valeurs d'un caractère en ligne et les valeurs de l'autre caractère en colonne.
- Étape 2 : Remplir chaque case avec l'effectif (ou l'issue) correspondant. Ajouter une ligne et une colonne « Total ».
- Étape 3 : Vérifier que la somme des lignes et la somme des colonnes donnent bien le même total.
- Étape 4 : Calculer la probabilité cherchée par équiprobabilité :
Remarque
Le tableau à double entrée facilite la lecture des probabilités d'intersection (case unique) et d'union (on peut utiliser la formule $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$).
Sondage sur les trajets domicile-travail
Une entreprise interroge ses 400 salariés sur leur mode de transport. Les résultats sont :
| Vélo | Voiture | Total | |
| Homme | 80 | 120 | 200 |
| Femme | 100 | 100 | 200 |
| Total | 180 | 220 | 400 |
On choisit un salarié au hasard. On note $H$ : « le salarié est un homme » et $V$ : « le salarié vient en vélo ». Calculer $p(H \cap V)$ puis $p(H \cup V)$.
Étape 1 : Le tableau croise le sexe (en ligne) et le mode de transport (en colonne).
Étape 2 : Les effectifs sont donnés, la ligne et la colonne « Total » sont complètes.
Étape 3 : Vérification : $200 + 200 = 400$ et $180 + 220 = 400$. Les totaux coïncident.
Étape 4 : Il y a équiprobabilité parmi les 400 salariés.
L'intersection $H \cap V$ correspond à la case « Homme / Vélo », soit 80 salariés :
Pour l'union, on applique la formule :
Produit de deux dés à quatre faces
On lance deux dés tétraédriques équilibrés (faces numérotées de 1 à 4) et on note le produit des deux résultats. Quelle est la probabilité que ce produit soit impair ?
Étape 1 : On place les résultats du premier dé en ligne et ceux du deuxième dé en colonne.
Étape 2 : On inscrit dans chaque case le produit obtenu :
| $\times$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 |
Étape 3 : Le tableau contient $4 \times 4 = 16$ cases équiprobables.
Étape 4 : Le produit est impair uniquement lorsque les deux résultats sont impairs, soit pour les couples $(1;1)$, $(1;3)$, $(3;1)$, $(3;3)$ : 4 cases favorables.
Attention
Avant de calculer quoi que ce soit, toujours vérifier les totaux : la somme des effectifs par ligne et la somme par colonne doivent donner le même total global. Une erreur ici fausse toutes les probabilités.