Résoudre un problème de conjonction de phénomènes
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Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux entiers $ a $ et $ b $ est le plus petit entier strictement positif qui est à la fois multiple de $ a $ et multiple de $ b $.
Pour le calculer, on décompose $ a $ et $ b $ en produit de facteurs premiers, puis on retient chaque facteur premier avec le plus grand exposant.
Méthode
Dans un problème de conjonction, deux phénomènes se produisent en même temps à l'instant initial, puis chacun se répète à intervalle régulier. On cherche au bout de combien de temps ils coïncident à nouveau.
Pour que les deux phénomènes se produisent simultanément, la durée écoulée doit être un multiple de chacune des deux périodes. On veut la plus courte durée possible, donc on cherche le plus petit multiple commun aux deux périodes : c'est le $ PPCM $.
- Identifier les périodes des deux phénomènes.
- Décomposer chaque période en produit de facteurs premiers.
- Calculer le $ PPCM $ en retenant chaque facteur premier avec le plus grand exposant.
- Le $ PPCM $ est la durée avant la prochaine conjonction.
Clignotement de deux ampoules
Deux ampoules s'allument simultanément. L'ampoule A clignote toutes les $ 12 $ secondes, l'ampoule B toutes les $ 8 $ secondes.
Au bout de combien de secondes clignotent-elles à nouveau ensemble ?
La durée cherchée doit être un multiple de $ 12 $ et un multiple de $ 8 $. On veut le plus petit, donc on calcule $ PPCM\left(12~;~8\right) $.
Étape 1 : On décompose en facteurs premiers :
Étape 2 : On retient les plus grands exposants :
Les deux ampoules clignotent à nouveau ensemble au bout de $ 24 $ secondes.
Vérification : $ 24 = 2 \times 12 $ et $ 24 = 3 \times 8 $
Départ de deux lignes de bus
Deux lignes de bus partent ensemble du terminus à $ 8 $h$ 00 $. La ligne A a une fréquence de $ 15 $ minutes, la ligne B de $ 10 $ minutes.
À quelle heure les deux bus partent-ils ensemble pour la première fois après $ 8 $h$ 00 $ ?
La durée cherchée doit être un multiple de $ 15 $ et un multiple de $ 10 $. On veut le plus petit, donc on calcule $ PPCM\left(15~;~10\right) $.
Étape 1 : On décompose en facteurs premiers :
Étape 2 : On retient les plus grands exposants :
Les deux bus partent à nouveau ensemble $ 30 $ minutes après $ 8 $h$ 00 $, soit à $ 8 $h$ 30 $.
Vérification : $ 30 = 2 \times 15 $ et $ 30 = 3 \times 10 $
Remarque
Le $ PPCM $ et le $ PGCD $ sont liés par la relation :
Exemple : $ PPCM\left(12~;~8\right) = \dfrac{12 \times 8}{PGCD\left(12~;~8\right)} = \dfrac{96}{4} = 24 $
Attention
Ne pas confondre PGCD et PPCM :
- Pour un problème de partage (lots identiques sans reste) → on utilise le PGCD. Voir la fiche méthode : Résoudre un problème de partage
- Pour un problème de conjonction (phénomènes périodiques simultanés) → on utilise le PPCM.