PPCM : deux lignes de bus
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Deux lignes de bus desservent le même arrêt. La ligne A passe toutes les $ 18 $ minutes et la ligne B toutes les $ 30 $ minutes. Les deux lignes partent ensemble à $ 7 $h$ 00 $.
- Décomposer $ 18 $ et $ 30 $ en produits de facteurs premiers.
- En déduire le $ \text{PGCD}(18\,;\,30) $.
- Quel est le plus petit entier divisible à la fois par $ 18 $ et par $ 30 $ ?
- À quelle heure les deux lignes repartent-elles ensemble pour la première fois après $ 7 $h$ 00 $ ?
Corrigé
Cet exercice illustre la résolution d'un problème de conjonction de phénomènes.
$ 18 = 2 \times 3^2 $
$ 30 = 2 \times 3 \times 5 $
On retient les facteurs communs avec les plus petits exposants :
$ \text{PGCD}(18\,;\,30) = 2 \times 3 = 6 $
On cherche le plus petit entier divisible à la fois par $ 18 = 2 \times 3^2 $ et par $ 30 = 2 \times 3 \times 5 $.
Pour être divisible par $ 18 $, un nombre doit contenir au moins les facteurs $ 2^1 $ et $ 3^2 $.
Pour être divisible par $ 30 $, il doit contenir au moins les facteurs $ 2^1 $, $ 3^1 $ et $ 5^1 $.
Le plus petit nombre vérifiant les deux conditions doit donc contenir :
- $ 2^1 $ (exigé par les deux)
- $ 3^2 $ (exigé par $ 18 $, condition plus stricte que $ 3^1 $ exigé par $ 30 $)
- $ 5^1 $ (exigé par $ 30 $)
Le plus petit multiple commun est donc $ 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90 $.
Les deux lignes repartent ensemble toutes les $ 90 $ minutes, soit toutes les $ 1 $ h $ 30 $ min.
$7$h$00$ + $1$h$30$ = $8$h$30$
Les deux lignes repartent ensemble pour la première fois à $8$h$30$.