Résoudre une inéquation du premier degré
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Créer un compteLa règle d'or des inéquations
Pour résoudre une inéquation, on utilise les mêmes techniques que pour les équations (passer les termes d'un côté à l'autre), À UNE EXCEPTION PRÈS :
Si l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre STRICTEMENT NÉGATIF, alors il faut INVERSER LE SENS de l'inégalité.
- $<$ devient $>$
- $\leqslant$ devient $\geqslant$
1. Cas simple : Division par un nombre positif
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $2x - 4 > 6$
Étape 1 : On isole le terme en $x$.
On ajoute 4 des deux côtés.
$2x > 6 + 4$
$2x > 10$
Étape 2 : On divise par le coefficient devant $x$.
Ici, le coefficient est 2, qui est un nombre positif.
Donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
$\dfrac{2x}{2} > \dfrac{10}{2}$
$x > 5$
Conclusion : L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = ]5 ; +\infty[$.
2. Le piège classique : Division par un nombre négatif
Attention
C'est ici que 90% des erreurs se produisent. Soyez vigilants !
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $-3x + 12 \leqslant 0$
Étape 1 : On isole le terme en $x$.
On soustrait 12 des deux côtés.
$-3x \leqslant -12$
Étape 2 : On divise par le coefficient devant $x$.
Ici, le coefficient est -3, qui est un nombre négatif.
Donc ON INVERSE LE SENS de l'inégalité ($\leqslant$ devient $\geqslant$).
$\dfrac{-3x}{-3} \geqslant \dfrac{-12}{-3}$
$x \geqslant 4$
Conclusion : L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = [4 ; +\infty[$.
3. Cas avancé : Avec des fractions
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac{1}{2}x - 3 < \dfrac{x}{3}$
Étape 1 : On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite.
$\dfrac{1}{2}x - \dfrac{x}{3} < 3$
Étape 2 : On met au même dénominateur pour simplifier.
Le dénominateur commun entre 2 et 3 est 6.
$\dfrac{3x}{6} - \dfrac{2x}{6} < 3$
$\dfrac{3x - 2x}{6} < 3$
$\dfrac{x}{6} < 3$
Étape 3 : On isole $x$.
On multiplie par 6 (positif) des deux côtés. Le sens ne change pas.
$x < 3 \times 6$
$x < 18$
Conclusion : $S = ]-\infty ; 18[$.
Pour aller plus loin
Maintenant que vous maîtrisez les inéquations du premier degré, passez au niveau supérieur :
- Dresser un tableau de signes : Indispensable pour les inéquations produits (ex : $(x+1)(2x-3) > 0$).
- Les inéquations quotient : La méthode pour résoudre $\dfrac{A(x)}{B(x)} \geqslant 0$.
- Passer des inégalités aux intervalles : Pour être sûr de bien écrire vos ensembles de solutions.