Résoudre une équation trigonométrique
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Pour résoudre une équation trigonométrique :
- Étape 1 : se ramener à la forme $ \cos(x) = \cos(a) $ ou $ \sin(x) = \sin(a) $ en identifiant une valeur remarquable.
- Étape 2 : appliquer le théorème de résolution :
$ \cos(x) = \cos(a) $ : $ x = a + 2k\pi $ ou $ x = -a + 2k\pi $ ($ k \in \mathbb{Z} $)
$ \sin(x) = \sin(a) $ : $ x = a + 2k\pi $ ou $ x = \pi - a + 2k\pi $ ($ k \in \mathbb{Z} $) - Étape 3 : si les solutions sont demandées sur un intervalle donné, déterminer les valeurs de $ k $ qui conviennent.
Équation en cosinus
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ \cos(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $.
Étape 1 : on reconnaît la valeur remarquable $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $.
L'équation s'écrit $ \cos(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $.
Étape 2 : on applique le théorème :
$ x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi $ ou $ x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi $, avec $ k \in \mathbb{Z} $.
Équation en sinus sur un intervalle
Résoudre dans $ [0\,; 2\pi[ $ l'équation $ \sin(x) = \dfrac{1}{2} $.
Étape 1 : on reconnaît $ \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} $.
L'équation s'écrit $ \sin(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $.
Étape 2 : les solutions dans $ \mathbb{R} $ sont :
$ x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi $ ou $ x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi $, avec $ k \in \mathbb{Z} $.
Étape 3 : on cherche les valeurs de $ k $ telles que $ x \in [0\,; 2\pi[ $ :
Pour $ x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi $ : $ k = 0 $ donne $ x = \dfrac{\pi}{6} $ (convient), $ k = 1 $ donne $ x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi $ (trop grand).
Pour $ x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi $ : $ k = 0 $ donne $ x = \dfrac{5\pi}{6} $ (convient), $ k = 1 $ donne $ x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi $ (trop grand).
Remarque
Pour les équations du type $ \cos(2x) = \cos(a) $ ou $ \sin(3x) = \sin(a) $, la méthode est identique : on remplace $ x $ par l'expression complète ($ 2x $, $ 3x $, etc.) dans les formules de résolution, puis on isole $ x $ en divisant par le coefficient.
Attention
Ne pas oublier le deuxième ensemble de solutions. Par exemple, pour $ \cos(x) = \cos(a) $, écrire uniquement $ x = a + 2k\pi $ est incomplet : il manque $ x = -a + 2k\pi $.
Autre erreur fréquente : confondre les formules du cosinus et du sinus. Pour le cosinus, le deuxième cas est $ -a $, pour le sinus c'est $ \pi - a $.