Sujet 0 – Équation différentielle – Exponentielle
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L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
On considère l’équation différentielle :
- Soit $ u $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ u(x) = xe^{ - x} $.
Vérifier que la fonction $ u $ est une solution de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $. - On considère l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = 0 $. Résoudre l’équation différentielle sur $ \mathbb{R} $.
- En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $ sur $ \mathbb{R} $.
- Déterminer l’unique solution $ g $ de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $ telle que $ g(0) = 2 $.
Partie II
Dans cette partie, $ k $ est un nombre réel fixé que l’on cherche à déterminer.
On considère la fonction $ f_k $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f_k(x) = (x + k)e^{ - x} $.
Soit $ h $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ h(x) = e^{ - x} $.
On note $ C_k $ la courbe représentative de la fonction $ f_k $ dans un repère orthogonal et $ C $ la courbe représentative de la fonction $ h $.
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $ C_k $ et $ C $ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.
- Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l’une des courbes est en traits pointillés, l’autre est en trait plein. Laquelle est la courbe $ C $ ?
- En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $ k $ et placer sur l’annexe à rendre avec la copie l’unité sur chacun des axes du graphique.
Corrigé
Partie I
Soit $ u $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ u(x) = xe^{ - x} $. $ u $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
Calculons la dérivée de $ u $ :
$ u(x) = xe^{ - x} $$ u^{\prime}(x) = e^{ - x} + x( - e^{ - x}) = e^{ - x} - xe^{ - x} = (1 - x)e^{ - x} $Remplaçons $ u $ et $ u^{\prime} $ dans l'équation différentielle :
$ u^{\prime}(x) + u(x) = (1 - x)e^{ - x} + xe^{ - x} = e^{ - x} $On obtient bien $ e^{ - x} $, ce qui montre que $ u $ est une solution de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $.
L’équation différentielle $ y^{\prime} + y = 0 $ peut s'écrire $ y^{\prime}= - y $. C'est une équation différentielle du type $ y^{\prime}=ay $ avec$ a= - 1 $.
D'après le cours, la solution générale de cette équation différentielle est donc :
$ y(x) = Ce^{ - x} $avec $ C \in \mathbb{R} $.
La solution générale de l'équation différentielle non homogène $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $ est de la forme :
$ y(x) = y_h(x) + y_p(x) $où $ y_h(x) $ est la solution générale de l'équation homogène associée $ y^{\prime} + y = 0 $ et $ y_p(x) $ est une solution particulière de l'équation non homogène $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $.
Nous avons déjà trouvé que les solutions de l'équation homogène $ y^{\prime} + y = 0 $ sont les fonctions $ x \longmapsto Ce^{ - x} $.
Nous avons également trouvé que $ u(x) = xe^{ - x} $ est une solution particulière de l'équation non homogène $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $.
La solution générale de l'équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $ est donc :
$ y(x) = Ce^{ - x} + xe^{ - x} $Nous avons :
$ g(x) = Ce^{ - x} + xe^{ - x} $Utilisons la condition initiale $ g(0) = 2 $ pour trouver $ C $ :
$ g(0) = Ce^{0} + 0e^{0} = C $$ C = 2 $Ainsi, l’unique solution $ g(x) $ de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $ telle que $ g(0) = 2 $ est :
$ g(x) = 2e^{ - x} + xe^{ - x} = (2 + x)e^{ - x} $
Partie II
- La courbe $ C $ est représentative de la fonction $ h(x) = e^{ - x} $.
Pour déterminer laquelle est la courbe $ C $, nous devons observer que $ h(x) = e^{ - x} $ a pour dérivée la fonction définie par $ h^{\prime}(x)= - e^{ - x} $ et donc strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $.
La courbe en trait plein est donc celle de $ h(x) $. La courbe en traits pointillés serait alors celle de $ f_k(x) $. La courbe représentative de la fonction $ h $ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $ (0,1) $. Ce point ayant pour ordonnée $ 1 $ nous permet de tracer la graduation sur l'axe des ordonnées.
La courbe représentative de $ f_k $ coupe l'axe des ordonnées en un point qui semble avoir une ordonnée égale à $ 2 $. On en déduit que $ f_k(0) = 2 $, c'est-à-dire $ (0 + k)e^0 = 2 $ donc $ k = 2 $.
La courbe en pointillés représente donc la fonction $ f_2 $ qui à $ x $ associe $ (x + 2)e^{ - x} $.
L'abscisse du point d'intersection entre les deux courbes est la solution de l'équation $ f_2(x) = h(x) $.
Or :
$ f_2(x) = h(x) \Leftrightarrow (x + 2)e^{ - x} = e^{ - x} \Leftrightarrow x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1. $L'abscisse du point d'intersection des deux courbes est donc $ - 1 $, ce qui permet de graduer l'axe des abscisses.
