QCM : Coplanarité et combinaisons linéaires
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Ce QCM porte sur la coplanarité de vecteurs et les combinaisons linéaires dans l'espace. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soient $\vec{u}(1~;~2~;~-1)$, $\vec{v}(2~;~-1~;~3)$ et $\vec{w}(4~;~3~;~1)$. Le vecteur $\vec{w}$ est-il combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
- (Correct) Oui, on a $\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v}$
- (Incorrect) Non, le système n'a pas de solution
- (Incorrect) Oui, on a $\vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v}$
- (Incorrect) Oui, on a $\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}$
Question 2 : $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés. On définit $D$ par $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?
- (Incorrect) Non, $D$ est en dehors du plan $(ABC)$
- (Correct) Oui, car $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
- (Incorrect) On ne peut pas conclure sans coordonnées numériques
- (Incorrect) Oui, mais seulement si $ABCD$ est un parallélogramme
Question 3 : Dans un cube $ABCDEFGH$, on pose $\vec{i} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{j} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{k} = \overrightarrow{AE}$. Le sommet $G$ est diagonalement opposé à $A$. Quelle est l'expression de $\overrightarrow{AG}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ?
- (Incorrect) $\vec{i} + \vec{j}$
- (Incorrect) $\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$
- (Correct) $\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$
- (Incorrect) $2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$
Question 4 : Soient les vecteurs $\vec{u}(1~;~0~;~0)$, $\vec{v}(0~;~1~;~0)$ et $\vec{w}(2~;~3~;~0)$. Que peut-on dire de ces trois vecteurs ?
- (Correct) Ils sont coplanaires car $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$
- (Incorrect) Ils ne sont pas coplanaires car ils ont trois directions différentes
- (Incorrect) Ils forment une base de l'espace
- (Incorrect) Ils sont tous colinéaires entre eux
Question 5 : Soient $\vec{u}(1~;~1~;~1)$, $\vec{v}(1~;~-1~;~0)$ et $\vec{w}(2~;~0~;~1)$. Le triplet $(\vec{u},~\vec{v},~\vec{w})$ forme-t-il une base de l'espace ?
- (Incorrect) Oui, car les trois vecteurs ne sont pas colinéaires deux à deux
- (Incorrect) Oui, car ils ont trois coordonnées non nulles
- (Correct) Non, car $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$
- (Incorrect) Non, car le vecteur $\vec{u}$ a toutes ses coordonnées égales
Question 6 : On donne $A(1~;~0~;~1)$, $B(2~;~1~;~0)$ et $C(0~;~-1~;~2)$. Que peut-on dire de ces trois points ?
- (Incorrect) Ils définissent un unique plan $(ABC)$
- (Incorrect) Ils forment un triangle équilatéral
- (Correct) Ils sont alignés
- (Incorrect) Impossible à déterminer sans plus d'informations