Montrer l’existence d’une solution avec le TVI
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Théorème des valeurs intermédiaires
Si $ f $ est une fonction continue sur un intervalle $ [a ; b] $ et si $ k $ est compris entre $ f(a) $ et $ f(b) $, alors l'équation $ f(x) = k $ admet au moins une solution dans $ [a ; b] $.
Remarque
Cas particulier fréquent : Si $ f(a) $ et $ f(b) $ sont de signes contraires, alors $ 0 $ est compris entre $ f(a) $ et $ f(b) $, et l'équation $ f(x) = 0 $ admet au moins une solution dans $ [a ; b] $.
Méthode
Méthode (montrer l'existence d'une solution)
Pour montrer que l'équation $ f(x) = k $ admet au moins une solution sur $ [a ; b] $ :
- Vérifier que $ f $ est continue sur $ [a ; b] $.
- Calculer $ f(a) $ et $ f(b) $.
- Vérifier que $ k $ est compris entre $ f(a) $ et $ f(b) $.
- Conclure par le théorème des valeurs intermédiaires.
Exemple 1
Exemple
Montrer que l'équation $ x^3 + x - 1 = 0 $ admet au moins une solution dans $ [0 ; 1] $.
Soit $ f(x) = x^3 + x - 1 $.
Étape 1 : $ f $ est un polynôme, donc continue sur $ [0 ; 1] $.
Étape 2 :
$ f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 $
$ f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 $
Étape 3 : $ f(0) = -1 < 0 $ et $ f(1) = 1 > 0 $ : les valeurs sont de signes contraires, donc $ 0 $ est compris entre $ f(0) $ et $ f(1) $.
Conclusion : D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ f(x) = 0 $ admet au moins une solution dans $ [0 ; 1] $.
Exemple 2
Exemple
Soit $ f(x) = e^x - 3 $, définie et continue sur $ \mathbb{R} $.
Montrer que l'équation $ f(x) = 0 $ admet au moins une solution dans $ [1 ; 2] $.
$ f(1) = e - 3 \approx -0{,}28 < 0 $
$ f(2) = e^2 - 3 \approx 4{,}39 > 0 $
$ f $ est continue sur $ [1 ; 2] $ et $ f(1) $ et $ f(2) $ sont de signes contraires.
D'après le TVI, l'équation $ f(x) = 0 $ admet au moins une solution dans $ [1 ; 2] $.