Aire d’une pièce restante : développer, factoriser et calculer

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

$ ABCD $ est un rectangle de longueur $ AB = x $ cm (avec $ x > 4 $) et de largeur $ AD = 4 $ cm.

À l'intérieur de $ ABCD $, on découpe un carré $ AEFD $ de côté $ 4 $ cm, situé contre le côté $ AD $. La pièce restante est le rectangle $ EBCF $.

Exprimer en fonction de $ x $ :
1. l'aire du rectangle $ ABCD $ ;
2. l'aire du carré $ AEFD $ ;
3. l'aire $ \mathcal{A} $ de la pièce restante $ EBCF $, sous la forme d'une expression réduite.
Factoriser l'expression de $ \mathcal{A} $.
À l'aide de l'expression factorisée, calculer $ \mathcal{A} $ pour $ x = 9 $ cm puis pour $ x = 14 $ cm.
Léa affirme : « D'après la formule, quand $ x = 4 $, l'aire de la pièce restante est nulle. » Que penser de cette affirmation ?

Corrigé

1. L'aire du rectangle $ ABCD $ est égale à $ AB \times AD $ :
  
  $ \text{Aire}(ABCD) = x \times 4 = 4x $ (en cm²).
2. L'aire du carré $ AEFD $ est égale à $ 4 \times 4 = 16 $ cm².
3. La pièce restante est obtenue en retirant le carré au rectangle :
  
  $ \mathcal{A} = 4x - 16 $ (en cm²).
Le facteur commun de $ 4x $ et de $ 16 $ est $ 4 $ : $ 4x = 4 \times x $ et $ 16 = 4 \times 4 $.

$ \mathcal{A} = 4 \times x - 4 \times 4 = 4(x - 4) $

D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{4(x - 4)}$ cm².
On utilise l'expression factorisée, plus rapide à calculer.

Pour $ x = 9 $ : $ \mathcal{A} = 4 \times (9 - 4) = 4 \times 5 = 20 $.
La pièce restante a une aire de $\mathbf{20}$ cm².

Pour $ x = 14 $ : $ \mathcal{A} = 4 \times (14 - 4) = 4 \times 10 = 40 $.
La pièce restante a une aire de $\mathbf{40}$ cm².
En remplaçant $ x $ par $ 4 $ dans l'expression factorisée, on obtient $ 4 \times (4 - 4) = 4 \times 0 = 0 $ : la formule donne bien une aire nulle.

Cependant, l'énoncé impose $ x > 4 $ : la valeur $ x = 4 $ est exclue car la longueur du rectangle serait alors égale au côté du carré, et la pièce restante n'existerait plus (elle serait réduite à un segment). L'affirmation de Léa est correcte du point de vue du calcul, mais elle correspond à un cas géométriquement impossible dans ce problème.