Étudier les variations d’une fonction à l’aide de sa dérivée
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Pour étudier les variations d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :
- Étape 1 : Calculer la fonction dérivée $f^{\prime}(x)$.
- Étape 2 : Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $I$ (factorisation, discriminant, signe du dénominateur…).
- Étape 3 : Appliquer la règle : $f^{\prime}(x)\geqslant 0$ sur un intervalle $\Leftrightarrow$ $f$ est croissante ; $f^{\prime}(x)\leqslant 0$ $\Leftrightarrow$ $f$ est décroissante.
- Étape 4 : Calculer les valeurs de $f$ aux bornes de $I$ et aux points où $f^{\prime}$ s'annule, puis dresser le tableau de variations.
Polynôme du troisième degré
Étudier les variations de $f(x)=x^{3}-3x+2$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : Calculer $f^{\prime}(x)$.
$f^{\prime}(x)=3x^{2}-3$
Étape 2 : Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$.
$f^{\prime}(x)=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1)$
$f^{\prime}(x)=0$ pour $x=-1$ ou $x=1$.
Le polynôme $x^{2}-1$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines, donc :
- $f^{\prime}(x)>0$ sur $\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]1 ;+\infty\right[$
- $f^{\prime}(x)<0$ sur $\left]-1 ;1\right[$
Étape 3 : En déduire les variations.
$f$ est croissante sur $\left]-\infty ;-1\right]$, décroissante sur $\left[-1 ;1\right]$, croissante sur $\left[1 ;+\infty\right[$.
Étape 4 : Calculer les valeurs aux extrema.
$f(-1)=(-1)^{3}-3\times (-1)+2=-1+3+2=\color{red}{4}\color{black}$
$f(1)=1^{3}-3\times 1+2=1-3+2=\color{red}{0}\color{black}$
Tableau de variations :
Fonction rationnelle
Étudier les variations de $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ sur $\left]0 ; +\infty\right[$.
Étape 1 : Calculer $f^{\prime}(x)$ avec la formule du quotient.
On pose $u(x)=x^{2}+1$ et $v(x)=x$, donc $u^{\prime}(x)=2x$ et $v^{\prime}(x)=1$.
$f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}=\dfrac{2x\times x-(x^{2}+1)\times 1}{x^{2}}=\dfrac{2x^{2}-x^{2}-1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}$
Étape 2 : Étudier le signe.
Sur $\left]0 ; +\infty\right[$, $x^{2}>0$ donc le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui de $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$.
Comme $x>0$, $x+1>0$ : le signe de $f^{\prime}(x)$ est donc celui de $x-1$.
- $f^{\prime}(x)<0$ sur $\left]0 ;1\right[$
- $f^{\prime}(1)=0$
- $f^{\prime}(x)>0$ sur $\left]1 ;+\infty\right[$
Étape 3 : En déduire les variations.
$f$ est décroissante sur $\left]0 ;1\right]$ et croissante sur $\left[1 ;+\infty\right[$.
Étape 4 : Calculer le minimum.
$f(1)=\dfrac{1^{2}+1}{1}=2$
$f$ admet un minimum égal à $2$ sur $\left]0 ; +\infty\right[$, atteint en $x=1$.
Tableau de variations :
![Tableau de variations de f(x)=(x^2+1)/x sur ]0;+infini[](/assets/svg/etudier-variations-avec-derivee-graph-bb-26.svg?v=1780815522)
Remarque
Lorsque la dérivée s'annule en un point et change de signe, la fonction admet en ce point un extremum local (maximum si $f^{\prime}$ passe de $+$ à $-$, minimum si $f^{\prime}$ passe de $-$ à $+$). Si la dérivée s'annule sans changer de signe, il ne s'agit pas d'un extremum (exemple : $f(x)=x^{3}$ en $0$).
Attention
Avant d'appliquer la règle « $f^{\prime}\geqslant 0$ donc $f$ croissante », il faut se placer sur un intervalle où la fonction est définie et dérivable. Pour une fonction rationnelle comme $\dfrac{1}{x}$, on étudie séparément les variations sur $\left]-\infty ;0\right[$ et sur $\left]0 ;+\infty\right[$ : elle est décroissante sur chacun, mais pas sur leur réunion.