Vrai/Faux : Dérivée — produit et quotient

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x-1}{x-2}$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]2~;~+\infty\right[$.

Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+m}{x^2+1}$.

Affirmation : Pour $m < 1$, la fonction $f$ est croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose $g(x) = x^2 \times f(x)$.

Affirmation : $g'(0) = 0$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}$.

Affirmation : Pour tout $x \neq 1$ : $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{(x-1)^2}$.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^n+1)(x^n-1)$.

Affirmation : $f'(1) = n^2$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{0\}$ par $f(x) = \dfrac{x+1}{x}$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty~;~0\right[$ et sur $\left]0~;~+\infty\right[$.