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Nombre dérivé - Fonction dérivée Exercices

Étude d’une fonction à l’aide d’une fonction annexe

Durée estimée
30 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Partie A

Soit la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ g (x) =2x^{ 3 } +2x^2 - 1.$
  1. Étudier les variations de la fonction $ g $ sur $ \mathbb{R} . $
  2. Calculer $ g (0) $ et $ g (1). $
    On admet que l'équation $ g (x) =0 $ admet une unique solution $ x_{ 0 } $ sur $ \mathbb{R} $.
    Justifier que $ x_{ 0 } \in \left] 0 ; 1 \right[ $.
  3. Déterminer le signe de $ g (x) $ sur $ \mathbb{R} $.

  4. On considère le programme Python ci-dessous :

    def g(x) :
    return 2*x**3 + 2*x**2 - 1
def solution() :
    x = 0
    y = g(x)
    while y < 0 :
        x = x + 0.01
        y = g(x)
    return x

    L'appel de la fonction solution() définie ci-dessus retourne 0.57.
    donner un encadrement d'amplitude 0,01 de $ x_{ 0 }. $

Partie B

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} $ par :

$ f (x) = \dfrac{ x^{ 3 } +2x^2 +1 }{ x } . $

  1. Montrer que pour tout réel $ x $ non nul :

    $ f^{\prime} (x)= \dfrac{ g (x) }{ x^2 } . $
  2. Dresser le tableau de variations de $ f $ sur $ \mathbb{R} . $ (On ne cherchera pas à déterminer la valeur de l’extremum de cette fonction.)

Corrigé

Partie A

  1. La fonction $ g $ est une fonction polynôme, donc, elle est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :

    $ g^{\prime} (x) =2 \times 3x^2+2 \times 2x=6x^2 +4x =2x (3x+2). $

    $ g^{\prime} $ possède donc 2 racines : $ x_{ 1 } =0 $ et $ x_{ 2 } = - \dfrac{ 2 }{ 3 } . $

    Le coefficient du terme du second degré est positif donc $ g^{\prime} $ est négative entre $ - \dfrac{ 2 }{ 3 } $ et $ 0 $ et est positive à l'extérieur de ces racines.

    $ g (0) = - 1 $

    $ g \left( - \dfrac{ 2 }{ 3 } \right) =2 \times \left( - \dfrac{ 2 }{ 3 } \right) ^{3} +2 \times \left( - \dfrac{ 2 }{ 3 } \right) ^2 - 1 = - \dfrac{ 19 }{ 27 } . $

    On peut alors dresser le tableau de variations de $ g $ :

    tableau de variations de la fonction
  2. On a déjà calculé $ g (0) = - 1 $ qui est strictement négatif.
    $ g (1) =3 $ est strictement positif.
    $ g $ change de signe entre $ 0 $ et $ 1 $ donc s'annule pour un nombre $ x_{ 0 } $ appartenant à l'intervalle $ \left] 0 ; 1 \right[ . $

    Remarque : Une démonstration plus rigoureuse nécessiterait l'emploi du théorème des valeurs intermédiaires qui n'est pas au programme de Première. Ici, seule une justification était demandée.

  3. D'après le tableau de variations, $ g $ est négative sur l'intervalle $ \left] - \infty ; 0 \right] $.
    D'après la question précédente, $ g $ est également négative sur l'intervalle $ \left[ 0 ; x_{ 0 } \right[ $ mais positive sur l'intervalle $ \left] x_{ 0 } ; + \infty \right[. $

    Le tableau de signes de $ g $ est donc le suivant :

    Exemple tableau de signe 1
  4. La fonction « solution () » calcule les valeurs de $ g (x) $ pour $ x $ partant de $ 0 $ et augmentant par pas de $ 0{,}01. $

    La boucle « while » s'arrête dès que $ g (x) \geqslant 0 $ et la fonction renvoie alors la valeur de la variable $ x. $
    Ce nombre retourné est donc le plus petit nombre de deux décimales tel que $ g (x) \geqslant 0. $

    Ce nombre étant égal à $ 0{,}57 $ d'après l'énoncé, on a donc $ g (0{,}57) \geqslant 0 $ mais $ g (0{,}56) < 0. $

    Par conséquent : $\mathbf{0{,}56 < x_{ 0 } \leqslant 0{,}57}$.

Partie B

  1. Posons : $ u (x) =x^3 +2x^{ 2 } +1 $ et $ v (x) =x $.

    Alors : $ u^{\prime} (x) =3x^2 +4x $ et $ v^{\prime} (x) =1 $

    Donc :

    $ f^{\prime} (x) = \dfrac{ u^{\prime} (x) v (x) - u (x) v^{\prime} (x) }{ v (x) ^2 } $

    $ \phantom{ f^{\prime} (x) } = \dfrac{ x (3x^2 +4x) - (x^{ 3 } +2x^2 +1) }{ x^2 } $

    $ \phantom{ f^{\prime} (x) } = \dfrac{ 2x^{ 3 } +2x^2 - 1 }{ x^2 } $

    $ \phantom{ f^{\prime} (x) } = \dfrac{ g (x) }{ x^2 } $

  2. $ x^2 $ est toujours strictement positif sur $ \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}. $
    $ f^{\prime} (x) $ est donc du signe de $ g (x) $ qui est donné par le tableau de la question a.3.
    Toutefois, $ f $ n'est pas définie en $ 0. $

    On en déduit le tableau de variations de la fonction $ f $ :

    tableau de variations de la fonction

Pour réviser : Étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée