Étudier la convexité d’une fonction
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Théorème (caractérisation par la dérivée seconde)
Soit $ f $ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $ I $.
- $ f $ est convexe sur $ I $ si et seulement si $ f''(x) \geqslant 0 $ pour tout $ x \in I $.
- $ f $ est concave sur $ I $ si et seulement si $ f''(x) \leqslant 0 $ pour tout $ x \in I $.
Théorème (point d'inflexion)
Le point $ A $ d'abscisse $ a $ est un point d'inflexion de la courbe de $ f $ si et seulement si $ f'' $ s'annule et change de signe en $ a $.
Méthode
Méthode (étudier la convexité et les points d'inflexion)
Pour étudier la convexité d'une fonction $ f $ deux fois dérivable sur $ I $ :
- Calculer $ f'(x) $ puis $ f''(x) $.
- Étudier le signe de $ f''(x) $ sur $ I $.
- Conclure :
- Là où $ f''(x) \geqslant 0 $, la fonction $ f $ est convexe.
- Là où $ f''(x) \leqslant 0 $, la fonction $ f $ est concave.
- Les abscisses où $ f'' $ s'annule en changeant de signe donnent les points d'inflexion.
Attention
$ f''(a) = 0 $ ne suffit pas pour conclure à un point d'inflexion : il faut aussi que $ f'' $ change de signe en $ a $.
Par exemple, pour $ f(x) = x^4 $, on a $ f''(0) = 0 $ mais $ f''(x) = 12x^2 \geqslant 0 $ ne change pas de signe : l'origine n'est pas un point d'inflexion.
Exemple 1
Exemple
Étudier la convexité de $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 $ sur $ \mathbb{R} $.
Étape 1 : Calcul des dérivées.
$ f'(x) = 3x^2 - 6x $
$ f''(x) = 6x - 6 $
Étape 2 : Signe de $ f''(x) $.
$ f''(x) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 $
Pour $ x < 1 $ : $ f''(x) < 0 $.
Pour $ x > 1 $ : $ f''(x) > 0 $.
Étape 3 :
$ f $ est concave sur $ ]-\infty ; 1] $ et convexe sur $ [1 ; +\infty[ $.
$ f'' $ s'annule en $ x = 1 $ et change de signe.
$ f(1) = 1 - 3 + 4 = 2 $.
Le point $ A(1 ; 2) $ est un point d'inflexion de la courbe.
Exemple 2
Exemple
Étudier la convexité de $ g(x) = xe^x $ sur $ \mathbb{R} $.
Étape 1 : Calcul des dérivées.
$ g'(x) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x $
$ g''(x) = e^x + (1 + x)e^x = (2 + x)e^x $
Étape 2 : Signe de $ g''(x) $.
Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ e^x > 0 $, donc $ g''(x) $ est du signe de $ 2 + x $.
$ g''(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 $
Pour $ x < -2 $ : $ g''(x) < 0 $.
Pour $ x > -2 $ : $ g''(x) > 0 $.
Étape 3 :
$ g $ est concave sur $ ]-\infty ; -2] $ et convexe sur $ [-2 ; +\infty[ $.
$ g'' $ s'annule en $ x = -2 $ et change de signe.
$ g(-2) = -2e^{-2} = -\dfrac{2}{e^2} $.
Le point $ B\left(-2 ; -\dfrac{2}{e^2}\right) $ est un point d'inflexion de la courbe.