Vrai/Faux : Convexité et points d’inflexion

Durée estimée

5 minutes

Difficulté

Pour chaque affirmation suivante portant sur la convexité, la concavité et les points d'inflexion, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Question 1 :

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

Affirmation : $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$.

Question 2 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$.

Affirmation : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Question 3 :

Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $I$.

Affirmation : La courbe représentative de $f$ est située au-dessous de toutes ses tangentes sur $I$.

Question 4 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$.

Affirmation : La courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion en $x = 0$.

Question 5 :

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$ un réel tel que $f''(a) = 0$.

Affirmation : La courbe représentative de $f$ admet nécessairement un point d'inflexion d'abscisse $a$.

Question 6 :

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

Affirmation : Si $f'$ est croissante sur $\mathbb{R}$, alors $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.