QCM : Convexité et points d’inflexion
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Ce QCM porte sur la convexité et les points d'inflexion : caractérisation par la dérivée seconde et reconnaissance graphique. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Cette fonction est convexe sur $I$ si et seulement si :
- (Incorrect) $f'(x) \geqslant 0$ sur $I$
- (Incorrect) $f'(x) \leqslant 0$ sur $I$
- (Correct) $f''(x) \geqslant 0$ sur $I$
- (Incorrect) $f''(x) \leqslant 0$ sur $I$
Question 2 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ est :
- (Correct) convexe sur $\mathbb{R}$
- (Incorrect) concave sur $\mathbb{R}$
- (Incorrect) convexe sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ seulement
- (Incorrect) ni convexe ni concave
Question 3 : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. On a $f''(x) = 6x$. La fonction $f$ est :
- (Incorrect) convexe sur $\mathbb{R}$
- (Incorrect) concave sur $\mathbb{R}$
- (Incorrect) convexe sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$ et concave sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$
- (Correct) concave sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$ et convexe sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$
Question 4 : Un point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion de la courbe d'une fonction $f$ deux fois dérivable si et seulement si :
- (Incorrect) $f'(a) = 0$
- (Correct) $f''$ s'annule en $a$ et change de signe en $a$
- (Incorrect) $f''(a) > 0$
- (Incorrect) $f$ change de monotonie en $a$
Question 5 : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4$. On a $f''(x) = 12 x^2$. Le point de la courbe d'abscisse $0$ est :
- (Incorrect) un point d'inflexion
- (Correct) pas un point d'inflexion
- (Incorrect) un maximum local
- (Incorrect) un point de tangente verticale
Question 6 : La fonction exponentielle $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$ est :
- (Correct) convexe sur $\mathbb{R}$
- (Incorrect) concave sur $\mathbb{R}$
- (Incorrect) convexe sur $\mathbb{R}^+$ seulement
- (Incorrect) ni convexe ni concave