Déterminer la section d’un solide par un plan
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La section d'un solide par un plan est la figure obtenue lorsqu'on coupe le solide par ce plan. Sa nature dépend du solide et de la position du plan de coupe.
Méthode
Pour déterminer la section d'un solide par un plan :
- Identifier le solide coupé (sphère, pavé droit, cylindre, pyramide, cône).
- Déterminer la position du plan de coupe par rapport au solide (parallèle à la base, perpendiculaire à l'axe, passant par le centre...).
- En déduire la nature de la section à l'aide des propriétés connues.
- Calculer les dimensions de la section si l'énoncé le demande.
Remarque
Résultats à connaître :
- Sphère : la section par un plan est toujours un cercle. Si le plan passe par le centre, c'est un grand cercle.
- Pavé droit : la section par un plan parallèle à une face est un rectangle.
- Cylindre : la section par un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle ; par un plan parallèle à l'axe, c'est un rectangle.
- Pyramide ou cône : la section par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
Section d'une sphère par un plan
Une sphère de centre $ O $ et de rayon $ R = 10 $ cm est coupée par un plan situé à $ 6 $ cm du centre. Déterminer la nature et les dimensions de la section.
Étape 1 : le solide est une sphère.
Étape 2 : le plan ne passe pas par le centre (il est à $ 6 $ cm de $ O $).
Étape 3 : la section d'une sphère par un plan est un cercle.
Étape 4 : on note $ I $ le centre du cercle de section et $ M $ un point de ce cercle. Le triangle $ OIM $ est rectangle en $ I $ avec $ OM = R = 10 $ cm et $ OI = 6 $ cm.
D'après le théorème de Pythagore :
$ OM^2 = OI^2 + IM^2 $
$ 10^2 = 6^2 + IM^2 $
$ 100 = 36 + IM^2 $
$ IM^2 = 64 $
$ IM = 8 $ cm
La section est un cercle de centre $ I $ et de rayon 8 cm.
Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
Une pyramide $ SABCD $ a pour base un carré $ ABCD $ de côté $ 12 $ cm et pour hauteur $ SO = 9 $ cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à $ 3 $ cm du sommet $ S $.
Déterminer la nature et les dimensions de la section.
Étape 1 : le solide est une pyramide à base carrée.
Étape 2 : le plan est parallèle à la base.
Étape 3 : la section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. La base étant un carré, la section est aussi un carré.
Étape 4 : le plan coupe la pyramide à $ 3 $ cm du sommet, pour une hauteur totale de $ 9 $ cm. Le rapport de réduction est :
Le côté du carré de section est :
$ 12 \times \dfrac{1}{3} = 4 $ cm
La section est un carré de côté 4 cm.
Attention
Pour la section d'une sphère, le rayon du cercle de section n'est pas égal au rayon de la sphère (sauf si le plan passe par le centre). Il faut utiliser le théorème de Pythagore pour le calculer.