Déterminer si deux événements sont incompatibles
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Pour déterminer si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles et calculer $p(A \text{ ou } B)$ :
- Étape 1 : Lister les issues qui réalisent l'événement $A$ et celles qui réalisent l'événement $B$.
- Étape 2 : Vérifier s'il existe une issue qui réalise à la fois $A$ et $B$.
- Étape 3 : Si aucune issue commune n'existe, les événements sont incompatibles et on peut appliquer :
Lancer de dé — événements incompatibles
On lance un dé non truqué à six faces. On considère les événements :
$A$ : « obtenir le chiffre 1 » et $B$ : « obtenir le chiffre 6 ».
Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Calculer $p(A \text{ ou } B)$.
Étape 1 : Les issues de $A$ sont : $\{1\}$. Les issues de $B$ sont : $\{6\}$.
Étape 2 : Aucune issue n'est commune à $A$ et $B$ (un dé ne peut pas afficher 1 et 6 en même temps).
Les événements $A$ et $B$ sont donc incompatibles.
Étape 3 : On calcule chaque probabilité :
$p(A) = \dfrac{1}{6}$ et $p(B) = \dfrac{1}{6}$.
Les événements étant incompatibles, on peut additionner :
On vérifie : l'événement « obtenir un 1 ou un 6 » est réalisé par 2 issues sur 6, donc $p(A \text{ ou } B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. C'est bien égal à $p(A) + p(B)$.
Lancer de dé — événements non incompatibles
On lance un dé non truqué à six faces. On considère les événements :
$A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ».
Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?
Étape 1 : Les issues de $A$ sont : $\{2 ; 4 ; 6\}$. Les issues de $B$ sont : $\{5 ; 6\}$.
Étape 2 : L'issue $6$ réalise à la fois $A$ et $B$.
Les événements $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles.
Calculons chaque probabilité :
$p(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ et $p(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
L'événement « $A$ ou $B$ » est « obtenir un nombre pair ou supérieur ou égal à 5 ». Les issues qui le réalisent sont : $\{2 ; 4 ; 5 ; 6\}$, soit 4 issues.
Or $p(A) + p(B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
On constate que $p(A \text{ ou } B) = \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{5}{6} = p(A) + p(B)$.
La formule $p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B)$ ne s'applique pas ici car l'issue 6 est comptée deux fois dans la somme $p(A) + p(B)$.
Attention
Si les événements ne sont pas incompatibles, on ne peut pas simplement additionner les probabilités. En effet, on compterait deux fois les issues communes. Vérifier systématiquement l'incompatibilité avant d'appliquer la formule.
Remarque
Deux événements contraires sont toujours incompatibles : $A$ et $\overline{A}$ ne peuvent pas se réaliser en même temps. C'est d'ailleurs pour cela que $p(A) + p(\overline{A}) = 1$.