Événements incompatibles et lancer de dé
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On lance un dé non truqué à six faces.
On considère les événements suivants :
- $A$ : « obtenir un nombre pair »
- $B$ : « obtenir un multiple de 3 »
- $C$ : « obtenir le nombre 5 »
- Lister les issues de chacun des événements $A$, $B$ et $C$.
- Les événements $A$ et $C$ sont-ils incompatibles ? Justifier, puis calculer $p(A \text{ ou } C)$.
- Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifier.
- Calculer $p(A \text{ ou } B)$ en listant toutes les issues favorables.
Corrigé
Les issues de chaque événement sont :
- $A$ (nombre pair) : $\{2 ; 4 ; 6\}$
- $B$ (multiple de 3) : $\{3 ; 6\}$
- $C$ (le nombre 5) : $\{5\}$
Un nombre ne peut pas être à la fois pair et égal à 5 (car 5 est impair). Les événements $A$ et $C$ n'ont aucune issue commune, ils sont donc incompatibles.
On peut alors additionner leurs probabilités :
$ p(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $ et $ p(C) = \dfrac{1}{6} $
$ p(A \text{ ou } C) = p(A) + p(C) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} = $$\mathbf{\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}}$L'issue $6$ est à la fois un nombre pair (événement $A$) et un multiple de 3 (événement $B$). Les événements $A$ et $B$ ont une issue commune, ils ne sont donc pas incompatibles.
On ne peut pas appliquer la formule $p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B)$.
L'événement « $A$ ou $B$ » regroupe toutes les issues qui réalisent au moins l'un des deux événements : $\{2 ; 3 ; 4 ; 6\}$, soit 4 issues sur 6.
$ p(A \text{ ou } B) = \dfrac{4}{6} = $$\mathbf{\dfrac{2}{3}}$On peut vérifier : $p(A) + p(B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$, ce qui est différent de $\dfrac{2}{3}$. Cela confirme que l'on ne peut pas additionner les probabilités quand les événements ne sont pas incompatibles.
Pour réviser : Déterminer si deux événements sont incompatibles