Dériver un quotient de fonctions
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Si $ u $ et $ v $ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $ I $ avec $ v\left(x\right)\neq 0 $ sur $ I $, alors $ \dfrac{u}{v} $ est dérivable sur $ I $ et :
Pour dériver un quotient :
- Étape 1 : déterminer l'ensemble sur lequel $ v $ ne s'annule pas (ensemble de dérivabilité).
- Étape 2 : identifier $ u\left(x\right) $ et $ v\left(x\right) $.
- Étape 3 : calculer $ u^{\prime}\left(x\right) $ et $ v^{\prime}\left(x\right) $.
- Étape 4 : appliquer la formule puis développer le numérateur (le dénominateur $ v^{2} $ reste sous forme factorisée).
Quotient de deux fonctions affines
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R}\setminus\left\{-3\right\} $ par :
$ f\left(x\right)=\dfrac{2x-1}{x+3} $
Étape 1 : $ v\left(x\right)=x+3 $ s'annule en $ x=-3 $, donc $ f $ est dérivable sur $ \left]-\infty \,;\,-3\right[\cup \left]-3\,;\,+\infty \right[ $.
Étape 2 : on pose $ u\left(x\right)=2x-1 $ et $ v\left(x\right)=x+3 $.
Étape 3 :
$ u^{\prime}\left(x\right)=2 $
$ v^{\prime}\left(x\right)=1 $
Étape 4 : on applique la formule.
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2\left(x+3\right) - \left(2x-1\right)\times 1}{\left(x+3\right)^{2}} $
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x+6 - 2x+1}{\left(x+3\right)^{2}} $
Quotient avec un numérateur polynôme
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R}\setminus\left\{2\right\} $ par :
$ f\left(x\right)=\dfrac{x^{2}+1}{x-2} $
On pose $ u\left(x\right)=x^{2}+1 $ et $ v\left(x\right)=x-2 $.
$ u^{\prime}\left(x\right)=2x $
$ v^{\prime}\left(x\right)=1 $
On applique la formule :
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x\left(x-2\right) - \left(x^{2}+1\right)\times 1}{\left(x-2\right)^{2}} $
On développe le numérateur :
$ 2x\left(x-2\right) - \left(x^{2}+1\right) = 2x^{2}-4x - x^{2}-1 = x^{2}-4x-1 $
Remarque
Cas particulier d'un numérateur constant : si $ f\left(x\right)=\dfrac{k}{v\left(x\right)} $ avec $ k $ constant, il est plus efficace d'utiliser directement :
Par exemple pour $ f\left(x\right)=\dfrac{3}{x^{2}+1} $ :
$ f\left(x\right)=3\times \dfrac{1}{x^{2}+1} $
$ f^{\prime}\left(x\right)=3\times \left(-\dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)=-\dfrac{6x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} $
De même, si le dénominateur est constant, on factorise par l'inverse de la constante : $ \dfrac{u\left(x\right)}{k}=\dfrac{1}{k}\times u\left(x\right) $.
Attention
Respecter l'ordre $ u^{\prime}v - uv^{\prime} $ (et non $ uv^{\prime} - u^{\prime}v $) : le signe moins porte sur le second produit.
Ne pas oublier le carré au dénominateur : $ v^{2} $, pas $ v $.
Laisser le dénominateur sous forme factorisée $ \left(\ldots \right)^{2} $ : cela facilite l'étude du signe de $ f^{\prime} $ par la suite.