Dériver une fonction contenant ln

Deux formules à connaître :

Formule de base : si $ f(x) = \ln(x) $ alors $ f'(x) = \dfrac{1}{x} $ (pour $ x > 0 $)
Formule composée : si $ f(x) = \ln(u(x)) $ avec $ u $ dérivable et strictement positive, alors $ f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} $

En pratique, pour appliquer la formule composée :

Identifier la fonction $ u(x) $ (l'expression « à l'intérieur » du logarithme).
Calculer $ u'(x) $.
Écrire $ f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} $.

Exemple

Calculer la dérivée de $ f(x) = \ln(3x + 1) $ sur $ \left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[ $.
On pose $ u(x) = 3x + 1 $, donc $ u'(x) = 3 $.
On applique la formule :
$ f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{3}{3x + 1} $

Exemple

Calculer la dérivée de $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $ sur $ \mathbb{R} $.
On pose $ u(x) = x^{2} + 1 $, donc $ u'(x) = 2x $.
On a $ u(x) = x^{2} + 1 > 0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $, donc $ f $ est bien dérivable sur $ \mathbb{R} $.
$ f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1} $

Exemple

Calculer la dérivée de $ f(x) = x\ln(x) $ sur $ \left]0\,;\,+\infty\right[ $.
On utilise la formule du produit $ (uv)' = u'v + uv' $ avec $ u(x) = x $ et $ v(x) = \ln(x) $.
$ u'(x) = 1 $ et $ v'(x) = \dfrac{1}{x} $
$ f'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} $
$ f'(x) = \ln(x) + 1 $

Exemple

Calculer la dérivée de $ f(x) = \ln\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) $ sur $ \left]1\,;\,+\infty\right[ $.
On simplifie d'abord en utilisant les propriétés de $ \ln $ :
$ f(x) = \ln(x + 1) - \ln(x - 1) $
On dérive chaque terme :
$ f'(x) = \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x - 1} $
$ f'(x) = \dfrac{(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} $
$ f'(x) = \dfrac{-2}{(x + 1)(x - 1)} $
$ f'(x) = \dfrac{-2}{x^{2} - 1} $

Remarque

Lorsque l'expression à l'intérieur du logarithme est un quotient ou un produit, il est souvent plus simple de simplifier d'abord avec les propriétés de $ \ln $, puis de dériver chaque terme séparément (comme dans l'exemple 4).

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