Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
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Pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers :
- Diviser le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise (en commençant par $ 2 $, puis $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, …).
- Répéter avec le quotient obtenu : le diviser à nouveau par le plus petit nombre premier possible.
- Continuer jusqu'à obtenir un quotient égal à $ 1 $.
- Écrire le nombre comme le produit de tous les facteurs premiers trouvés, en regroupant les facteurs identiques sous forme de puissances.
Présentation en colonnes
On présente souvent la décomposition en deux colonnes : les quotients successifs à gauche et les facteurs premiers à droite. Cette disposition permet de lire directement la décomposition dans la colonne de droite.
Décomposition de 180
Étape 1 : $ 180 $ est pair, on divise par $ 2 $ :
$ 180 = 2 \times 90 $
Étape 2 : $ 90 $ est pair, on divise encore par $ 2 $ :
$ 90 = 2 \times 45 $
Étape 3 : $ 45 $ est impair, on essaie $ 3 $. La somme des chiffres est $ 4 + 5 = 9 $, divisible par $ 3 $ :
$ 45 = 3 \times 15 $
Étape 4 : $ 15 $ est divisible par $ 3 $ ($ 1 + 5 = 6 $) :
$ 15 = 3 \times 5 $
Étape 5 : $ 5 $ est premier, c'est le dernier facteur :
$ 5 = 5 \times 1 $
Conclusion :
Décomposition de 504
$ 504 $ est pair : $ 504 = 2 \times 252 $
$ 252 $ est pair : $ 252 = 2 \times 126 $
$ 126 $ est pair : $ 126 = 2 \times 63 $
$ 63 $ est impair. $ 6 + 3 = 9 $, divisible par $ 3 $ : $ 63 = 3 \times 21 $
$ 21 $ : $ 2 + 1 = 3 $, divisible par $ 3 $ : $ 21 = 3 \times 7 $
$ 7 $ est premier : $ 7 = 7 \times 1 $
Décomposition avec un grand facteur premier
Décomposer $ 715 $.
$ 715 $ est impair, non divisible par $ 2 $.
$ 7 + 1 + 5 = 13 $, non divisible par $ 3 $.
Le chiffre des unités est $ 5 $, donc divisible par $ 5 $ : $ 715 = 5 \times 143 $.
$ 143 $ n'est pas divisible par $ 5 $. On essaie $ 7 $ : $ 143 = 7 \times 20 + 3 $, non divisible par $ 7 $.
On essaie $ 11 $ : $ 143 = 11 \times 13 $. Et $ 13 $ est premier.
Attention
- Toujours commencer par le plus petit nombre premier ($ 2 $) et avancer dans l'ordre ($ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, $ 11 $, …). Ne pas sauter de nombre premier.
- Quand le quotient obtenu est un nombre premier, il est inutile de continuer les divisions : ce nombre est le dernier facteur.
- La décomposition est unique : quel que soit l'ordre des divisions, on obtient toujours les mêmes facteurs premiers.