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Divisibilité et nombres premiers Exercices

Sachets de perles : un problème de divisibilité

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

  1. Léa dispose de $ 168 $ perles bleues et de $ 252 $ perles vertes. Elle souhaite confectionner des sachets identiques, c'est-à-dire contenant tous le même nombre de perles bleues et tous le même nombre de perles vertes, en utilisant toutes ses perles.

    1. Vérifier que Léa peut former $ 12 $ sachets identiques. Préciser le nombre de perles de chaque couleur dans un sachet.
    2. Léa peut-elle former $ 18 $ sachets identiques ? Justifier.
    1. Décomposer $ 168 $ et $ 252 $ en produit de facteurs premiers.
    2. En déduire la liste de tous les nombres possibles de sachets que Léa peut former.
    3. Quel est le nombre maximum de sachets identiques qu'elle peut confectionner ? Donner alors la composition d'un sachet.
  3. Léa décide finalement d'utiliser le nombre maximum de sachets de la question précédente. Elle ajoute $ 5 $ perles dorées par sachet. Combien de perles dorées doit-elle acheter au total ?

Corrigé

    1. Avec $ 12 $ sachets identiques, chaque sachet contient $ 168 \div 12 = 14 $ perles bleues et $ 252 \div 12 = 21 $ perles vertes. Comme les divisions tombent juste, Léa peut former $ 12 $ sachets contenant chacun $ 14 $ perles bleues et $ 21 $ perles vertes.

    2. Pour former $ 18 $ sachets identiques, il faudrait que $ 168 $ et $ 252 $ soient tous les deux divisibles par $ 18 $. Or $ 168 \div 18 \approx 9{,}33 $ ; la division ne tombe pas juste.

      Léa ne peut pas former $ 18 $ sachets identiques, car $ 168 $ n'est pas divisible par $ 18 $.

    1. Décomposition de $ 168 $ :
      $ 168 = 2 \times 84 $
      $ 84 = 2 \times 42 $
      $ 42 = 2 \times 21 $
      $ 21 = 3 \times 7 $

      D'où $\mathbf{168 = 2^3 \times 3 \times 7}$.

      Décomposition de $ 252 $ :
      $ 252 = 2 \times 126 $
      $ 126 = 2 \times 63 $
      $ 63 = 3 \times 21 $
      $ 21 = 3 \times 7 $

      D'où $\mathbf{252 = 2^2 \times 3^2 \times 7}$.

    2. Le nombre de sachets doit être un diviseur commun à $ 168 $ et $ 252 $. Un diviseur commun est de la forme $ 2^a \times 3^b \times 7^c $, où chaque exposant est inférieur ou égal au plus petit exposant figurant dans les deux décompositions :

      • $ a $ peut valoir $ 0 $, $ 1 $ ou $ 2 $ (le plus petit exposant de $ 2 $ est $ 2 $).
      • $ b $ peut valoir $ 0 $ ou $ 1 $ (le plus petit exposant de $ 3 $ est $ 1 $).
      • $ c $ peut valoir $ 0 $ ou $ 1 $ (le plus petit exposant de $ 7 $ est $ 1 $).

      On obtient les diviseurs communs en combinant ces possibilités. Cela donne $ 3 \times 2 \times 2 = 12 $ diviseurs :

      $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $, $ 7 $, $ 12 $, $ 14 $, $ 21 $, $ 28 $, $ 42 $, $ 84 $

      Léa peut donc former $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $, $ 7 $, $ 12 $, $ 14 $, $ 21 $, $ 28 $, $ 42 $ ou $ 84 $ sachets identiques.

    3. Le nombre maximum est obtenu en prenant les exposants maximaux : $ a = 2 $, $ b = 1 $ et $ c = 1 $. On obtient :

      $ 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84 $

      Avec $ 84 $ sachets, chaque sachet contient :
      $ 168 \div 84 = 2 $ perles bleues
      $ 252 \div 84 = 3 $ perles vertes

      Léa peut confectionner au maximum $ 84 $ sachets identiques, contenant chacun $ 2 $ perles bleues et $ 3 $ perles vertes.

  3. Léa fabrique $ 84 $ sachets et ajoute $ 5 $ perles dorées par sachet. Le nombre total de perles dorées est :

    $ 84 \times 5 = 420 $

    Léa doit acheter $ 420 $ perles dorées.