Utiliser les croissances comparées
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Pour tout entier naturel $ n $ :
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty $ (l'exponentielle « l'emporte » sur tout polynôme en $ +\infty $)
- $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{n}\text{e}^{x}=0 $ ($ \text{e}^{x} $ tend vers $ 0 $ plus vite que tout polynôme ne tend vers l'infini en $ -\infty $)
Méthode 1 : Limite en $ +\infty $
Méthode
Pour calculer une limite en $ +\infty $ faisant intervenir $ \text{e}^{x} $ et un polynôme :
- on met en facteur $ \text{e}^{x} $ (ou la plus grande puissance de $ x $, selon le cas)
- on utilise le résultat de croissance comparée $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{n}}{\text{e}^{x}}=0 $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(x^{3}-\text{e}^{x}\right) $.
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}=+\infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $ : forme indéterminée « $ +\infty -\infty $ ».
On met $ \text{e}^{x} $ en facteur :
$ x^{3}-\text{e}^{x}=\text{e}^{x}\left(\dfrac{x^{3}}{\text{e}^{x}}-1\right) $
Par croissance comparée : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{3}}{\text{e}^{x}}=0 $
Donc : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\dfrac{x^{3}}{\text{e}^{x}}-1\right)=-1 $
Et comme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $, par produit :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(x^{3}-\text{e}^{x}\right)=-\infty $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{2}+1} $.
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(x^{2}+1\right)=+\infty $ : forme indéterminée « $ \dfrac{+\infty}{+\infty} $ ».
Or $ \dfrac{\text{e}^{x}}{x^{2}+1}\geqslant \dfrac{\text{e}^{x}}{2x^{2}} $ pour $ x\geqslant 1 $ (car $ x^{2}+1\leqslant 2x^{2} $).
Et $ \dfrac{\text{e}^{x}}{2x^{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{2}} $.
Par croissance comparée : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{2}}=+\infty $, donc $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{2x^{2}}=+\infty $.
Par comparaison : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{2}+1}=+\infty $.
Méthode 2 : Limite en $ -\infty $
Méthode
Pour calculer une limite en $ -\infty $ faisant intervenir $ \text{e}^{x} $ et un polynôme, on utilise directement :
$ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{n}\text{e}^{x}=0 $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left(x^{2}+1\right)\text{e}^{x} $.
$ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left(x^{2}+1\right)=+\infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\text{e}^{x}=0 $ : forme indéterminée « $ +\infty \times 0 $ ».
On développe :
$ \left(x^{2}+1\right)\text{e}^{x}=x^{2}\text{e}^{x}+\text{e}^{x} $
Par croissance comparée : $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{2}\text{e}^{x}=0 $
Et : $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\text{e}^{x}=0 $
Donc par somme : $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left(x^{2}+1\right)\text{e}^{x}=0 $.
Méthode 3 : Limite avec un changement de variable
Méthode
Lorsque l'exponentielle est de la forme $ \text{e}^{-x} $ ou $ \text{e}^{2x} $, on pose un changement de variable pour se ramener à une forme standard de croissance comparée.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\text{e}^{-x} $.
On pose $ X=-x $. Quand $ x\rightarrow +\infty $, $ X\rightarrow -\infty $.
$ x\text{e}^{-x}=\left(-X\right)\text{e}^{X}=-X\text{e}^{X} $
Par croissance comparée : $ \lim\limits_{X\rightarrow -\infty }X\text{e}^{X}=0 $.
Donc : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\text{e}^{-x}=0 $.