Construction CAC : reconnaître un triangle équilatéral
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On considère le triangle $ ABC $ tel que $ AB = 5 $ cm, $ AC = 5 $ cm et $ \widehat{BAC} = 60° $.
- Construire ce triangle. Indiquer les étapes de la construction.
- Mesurer la longueur $ BC $ et donner la nature présumée du triangle $ ABC $.
- Démontrer cette nature en utilisant les propriétés des angles d'un triangle.
Corrigé
La construction utilise la méthode CAC (deux côtés et l'angle compris).
- Tracer $ [AB] $ de longueur $ 5 $ cm.
- Au rapporteur, placé en $ A $, tracer une demi-droite formant un angle de $ 60° $ avec $ [AB] $.
- Sur cette demi-droite, placer le point $ C $ tel que $ AC = 5 $ cm.
- Tracer le segment $ [BC] $.
- À la règle graduée, on mesure $ BC = 5 $ cm. Les trois côtés du triangle ont la même longueur : le triangle $ ABC $ semble être équilatéral.
Le triangle $ ABC $ vérifie $ AB = AC = 5 $ cm, donc il est isocèle en $ A $.
Les deux angles à la base sont alors de même mesure :
$ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} $.La somme des trois angles d'un triangle vaut $ 180° $ :
$ \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180 - 60 = 120 $.Comme les deux angles à la base sont égaux :
$ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 120 \div 2 = 60° $.Les trois angles du triangle mesurent $ 60° $, donc le triangle $ ABC $ est équilatéral. On a bien $ BC = AB = AC = 5 $ cm.
Pour réviser : Utiliser les propriétés d'un triangle particulier.