Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour calculer la probabilité d'un événement à l'aide d'un arbre pondéré :
- Étape 1 : Repérer le ou les chemins qui conduisent à l'événement cherché.
- Étape 2 : Pour chaque chemin, multiplier les probabilités inscrites sur les branches successives.
- Étape 3 : Si plusieurs chemins conduisent à l'événement, additionner les probabilités obtenues pour chaque chemin.
Un seul chemin
On lance une pièce de monnaie équilibrée, puis on tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes (indiscernables au toucher).
Quelle est la probabilité d'obtenir Pile puis une boule rouge ?
Étape 1 : Un seul chemin conduit à l'événement « Pile puis Rouge » : la branche Pile suivie de la branche Rouge.
Étape 2 : On multiplie les probabilités le long de ce chemin :
Plusieurs chemins
Avec le même arbre pondéré, quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge (au total, sur les deux épreuves : soit Pile-Rouge, soit Face-Rouge) ?
Étape 1 : Ici, il n'y a qu'une épreuve avec des boules donc « obtenir une boule rouge » correspond à deux chemins : Pile-Rouge et Face-Rouge.
Étape 2 : On calcule la probabilité de chaque chemin :
$p(\text{Pile puis Rouge}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10}$
$p(\text{Face puis Rouge}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10}$
Étape 3 : On additionne les probabilités des deux chemins :
Remarque
On retrouve bien $\dfrac{3}{5}$ : quel que soit le résultat de la pièce, la probabilité de tirer une boule rouge dans l'urne reste la même. Ce résultat est logique car le lancer de pièce n'influence pas le tirage dans l'urne.
Attention
On multiplie les probabilités le long d'un chemin (successions de branches), mais on additionne les probabilités de chemins différents conduisant au même événement. Ne pas confondre ces deux opérations.