Expérience à deux épreuves – Roue et urne
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Une roue de loterie est partagée en trois secteurs :
- le secteur « Gagné » occupe un quart de la roue ;
- le secteur « Perdu » occupe la moitié de la roue ;
- le secteur « Rejoue » occupe le reste de la roue.
Règle du jeu : le joueur fait tourner la roue une première fois.
- S'il obtient « Gagné », il remporte un lot.
- S'il obtient « Perdu », il ne gagne rien.
- S'il obtient « Rejoue », il fait tourner la roue une seconde fois. Lors de ce second tour, s'il obtient « Gagné », il remporte un lot ; sinon il ne gagne rien.
- Déterminer la probabilité d'obtenir « Rejoue » au premier tour.
- Construire l'arbre pondéré représentant cette expérience. On précisera les probabilités sur chaque branche.
- Calculer la probabilité de gagner un lot dès le premier tour de roue.
- Calculer la probabilité de gagner un lot au second tour (c'est-à-dire d'obtenir « Rejoue » puis « Gagné »).
- En déduire la probabilité totale de gagner un lot au cours du jeu.
- Calculer la probabilité de ne gagner aucun lot. Vérifier le résultat à l'aide de l'événement contraire.
Corrigé
- Le secteur « Gagné » occupe $\dfrac{1}{4}$ de la roue et le secteur « Perdu » occupe $\dfrac{1}{2}$ de la roue.
Le secteur « Rejoue » occupe le reste :
$ p(\text{Rejoue}) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} = $$\mathbf{\dfrac{1}{4}}$ Au premier tour, les issues et leurs probabilités sont :
$p(\text{Gagné}) = \dfrac{1}{4}$, $p(\text{Perdu}) = \dfrac{1}{2}$, $p(\text{Rejoue}) = \dfrac{1}{4}$.
Si le joueur obtient « Rejoue », il relance la roue avec les mêmes probabilités pour chaque secteur.
Vérification : à chaque noeud, la somme des probabilités vaut bien 1.
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1$ pour le premier tour, et $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1$ pour le second tour.Le joueur gagne dès le premier tour s'il obtient « Gagné » directement :
$ p(\text{Gagné au 1er tour}) = $$\mathbf{\dfrac{1}{4}}$Le joueur gagne au second tour s'il obtient le chemin « Rejoue » puis « Gagné ». On multiplie les probabilités le long de ce chemin :
$ p(\text{Rejoue puis Gagné}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = $$\mathbf{\dfrac{1}{16}}$- L'événement « gagner un lot » est réalisé par deux chemins : « Gagné au 1er tour » ou « Rejoue puis Gagné ». Ces deux chemins sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps), on additionne donc leurs probabilités :
$ p(\text{gagner}) = p(\text{Gagné au 1er tour}) + p(\text{Rejoue puis Gagné}) $
$ p(\text{gagner}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{16} + \dfrac{1}{16} = $$\mathbf{\dfrac{5}{16}}$ Méthode 1 — par les chemins :
L'événement « ne gagner aucun lot » est réalisé par trois chemins :- « Perdu » (au 1er tour) : $p = \dfrac{1}{2}$
- « Rejoue puis Perdu » : $p = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$
- « Rejoue puis Rejoue » : $p = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$
$ p(\text{ne pas gagner}) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{2}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{11}{16} $
Méthode 2 — par l'événement contraire :
L'événement contraire de « ne gagner aucun lot » est « gagner un lot ». On a :
$ p(\text{ne pas gagner}) = 1 - p(\text{gagner}) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{5}{16} = $$\mathbf{\dfrac{11}{16}}$
Les deux méthodes donnent bien le même résultat : $\dfrac{11}{16}$.
Pour réviser : Construire un arbre pondéré pour une expérience à deux épreuves