Calculer l’espérance et la variance d’une combinaison linéaire
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Soient $ X $ et $ Y $ deux variables aléatoires et $ a $, $ b $ deux réels :
- $ E(aX + b) = aE(X) + b $
- $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $
- $ V(aX + b) = a^2 V(X) $
- $ V(X + Y) = V(X) + V(Y) $ (uniquement si $ X $ et $ Y $ sont indépendantes)
Méthode
Pour calculer l'espérance et la variance d'une combinaison linéaire :
- Étape 1 : Identifier $ E(X) $, $ V(X) $ (et $ E(Y) $, $ V(Y) $ si deux variables interviennent). Vérifier si les variables sont indépendantes.
- Étape 2 : Appliquer les formules de linéarité pour l'espérance.
- Étape 3 : Appliquer les formules pour la variance (attention au carré de $ a $ et à la condition d'indépendance).
- Étape 4 : En déduire l'écart-type si demandé : $ \sigma(aX + b) = |a| \sigma(X) $.
Variable de transition (simplification de calculs)
Une machine produit des pièces dont la masse en grammes suit une loi de variable aléatoire $ X $ avec $ E(X) = 50{,}2 $ et $ \sigma(X) = 0{,}03 $. On pose $ Y = 1\,000 X - 50\,200 $ pour simplifier les calculs. Déterminer $ E(Y) $ et $ V(Y) $, puis en déduire $ V(X) $.
Étape 1 : On a $ E(X) = 50{,}2 $ et $ \sigma(X) = 0{,}03 $, donc $ V(X) = (0{,}03)^2 = 0{,}0009 $.
$ Y = 1\,000 X - 50\,200 $ est de la forme $ aX + b $ avec $ a = 1\,000 $ et $ b = -50\,200 $.
Étape 2 : On calcule l'espérance :
$ E(Y) = 1\,000 \times E(X) - 50\,200 $
$ E(Y) = 1\,000 \times 50{,}2 - 50\,200 = 50\,200 - 50\,200 $
Étape 3 : On calcule la variance :
$ V(Y) = 1\,000^2 \times V(X) $
$ V(Y) = 1\,000\,000 \times 0{,}0009 $
Étape 4 : L'écart-type de $ Y $ est :
$ \sigma(Y) = |1\,000| \times \sigma(X) = 1\,000 \times 0{,}03 = 30 $
Réciproquement, si l'on connaît $ V(Y) $, on retrouve $ V(X) = \dfrac{V(Y)}{1\,000^2} = \dfrac{900}{1\,000\,000} = 0{,}0009 $.
Somme de deux variables indépendantes
On lance deux dés équilibrés indépendants. Le premier dé donne la variable $ X $ (résultat du premier dé) et le second dé donne la variable $ Y $ (résultat du second dé). On sait que $ E(X) = E(Y) = 3{,}5 $ et $ V(X) = V(Y) = \dfrac{35}{12} $. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de $ S = X + Y $.
Étape 1 : Les lancers sont indépendants, donc $ X $ et $ Y $ sont indépendantes.
$ E(X) = E(Y) = 3{,}5 $ et $ V(X) = V(Y) = \dfrac{35}{12} $.
Étape 2 : On calcule l'espérance de la somme :
$ E(S) = E(X) + E(Y) = 3{,}5 + 3{,}5 $
Étape 3 : Les variables étant indépendantes, on peut additionner les variances :
$ V(S) = V(X) + V(Y) = \dfrac{35}{12} + \dfrac{35}{12} $
Étape 4 : L'écart-type de la somme est :
$ \sigma(S) = \sqrt{V(S)} = \sqrt{\dfrac{35}{6}} \approx 2{,}42 $
Remarque
La technique de la « variable de transition » (premier exemple) est très utile pour simplifier les calculs lorsque les valeurs de $ X $ sont proches les unes des autres : on recentre et on dilate pour travailler avec des entiers simples.
Attention
- La formule $ V(X + Y) = V(X) + V(Y) $ n'est valable que si $ X $ et $ Y $ sont indépendantes. Sans cette hypothèse, on ne peut pas l'utiliser.
- Pour la variance, le coefficient $ a $ est élevé au carré : $ V(aX + b) = \color{red}{a^2}\color{black} V(X) $. La constante $ b $ disparaît.
- Pour l'écart-type, on prend la valeur absolue de $ a $ : $ \sigma(aX + b) = |a| \sigma(X) $.