Fiche de révision BAC : les suites

Réponses

1. Comment peut-on montrer qu'une suite est croissante ? décroissante ? constante ?

   Voici trois des principales méthodes.

   1. Calcul de $ u_{n+1} - u_n $.

      Si cette différence est positive pour tout entier naturel $ n $, la suite $ (u_n) $ est croissante.

      Si cette différence est négative pour tout entier naturel $ n $, la suite $ (u_n) $ est décroissante.

      Enfin, si cette différence est nulle pour tout entier naturel $ n $, la suite $ (u_n) $ est constante.

   2. Par récurrence.

      Dans ce cas, c'est la comparaison des deux premiers termes (par exemple $ u_0 $ et $ u_1 $) qui indique si la suite est croissante ou décroissante.

   3. Si la suite $ (u_n) $ est définie de façon explicite par une formule du type $ u_n=f(n) $, on peut étudier les variations de $ f $ sur $ [0~;~+\infty[ $ (calcul de la dérivée $ f^{\prime} $, etc.).

2. Qu'est-ce qu'une suite majorée ? minorée ? bornée ?

   Une suite $ (u_n) $ est majorée s'il existe un réel $ M $ tel que pour tout entier naturel $ n $, $ u_n \leqslant M $.

   Une suite $ (u_n) $ est minorée s'il existe un réel $ m $ tel que pour tout entier naturel $ n $, $ u_n \geqslant m $.

   Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

3. Quelles méthodes peut-on utiliser pour montrer qu'une suite est convergente ?

   Voici trois méthodes. La plus utilisée dans les sujets du bac est la première.

   1. Suite croissante majorée ou décroissante minorée. Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente. De même, une suite décroissante et minorée est convergente.
   2. Théorème des gendarmes (voir cours).

   3. Si la suite $ (u_n) $ est définie de façon explicite, on peut calculer la limite en utilisant les règles de calcul des limites (similaires à celles utilisées pour les fonctions).

      Dans ce cas, il faut aussi garder à l'esprit la formule donnant la limite de $ q^n $ (voir ci-dessous).

4. Comment montre-t-on qu'une suite est arithmétique ?

   Pour montrer que la suite $ (u_n) $ est arithmétique, on calcule $ u_{n+1} - u_n $ et on montre que le résultat est constant (indépendant de $ n $). Ce résultat est la raison de la suite arithmétique.

5. Pour une suite arithmétique de raison $ r $, quelle formule permet de calculer $ u_n $ en fonction de $ u_0 $ ? en fonction de $ u_p $ $ (p \in \mathbb{N}) $ ?

   Pour une suite arithmétique, en fonction de $ u_0 $ : $ u_n=u_0+nr $

   En fonction de $ u_p $ : $ u_n=u_p+(n-p)r $

6. Que vaut la somme $ 1+2+3+\cdots+n $ ?

   $ 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} $

7. Comment montre-t-on qu'une suite $ (u_n) $ est géométrique ?

   On montre qu'il existe un réel $ q $, indépendant de $ n $, tel que pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1}=q\,u_n $.

   On peut également montrer que le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} $ est constant, si on sait que la suite $ (u_n) $ ne s'annule pas.

8. Pour une suite géométrique de raison $ q $, quelle formule permet de calculer $ u_n $ en fonction de $ u_0 $ ? en fonction de $ u_p $ $ (p \in \mathbb{N}) $ ?

   En fonction de $ u_0 $ : $ u_n=u_0\,q^n $

   En fonction de $ u_p $ : $ u_n=u_p\,q^{n-p} $

9. Que vaut la somme $ 1+q+q^2+\cdots+q^n $ ?

   Pour tout réel $ q \neq 1 $ :

   $ 1+q+q^2+\cdots+q^n =\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $

10. Quelle est (en fonction de $ q $) la limite de $ q^n $ ?

    • si $ q>1 $ : $ \lim\limits_{n \to +\infty }q^n=+\infty $ ; la suite est divergente ;
    • si $ -1<q<1 $ : $ \lim\limits_{n \to +\infty }q^n=0 $ ; la suite converge vers $ 0 $ ;
    • si $ q \leqslant -1 $ : la suite est divergente (elle n'a pas de limite) ;
    • si $ q=1 $ : la suite est constante égale à $ 1 $.

11. Écrire un algorithme affichant les $ n $ premiers termes d'une suite.

    Voir la fiche Algorithme de calcul des premiers termes d'une suite.

12. Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?

    • Initialisation : on montre que la propriété est vraie au premier rang (par exemple au rang $ 0 $).
    • Hérédité : on montre que si la propriété est vraie à un certain rang $ n $, alors elle est vraie au rang $ n+1 $.
    • Conclusion : on en déduit que la propriété est vraie pour tout entier naturel $ n $ (ou pour tout entier $ n \geqslant n_0 $ si l'initialisation a été faite au rang $ n_0 $).