Programmes de calcul et distributivité

Durée estimée

25 minutes

Difficulté

On considère le programme de calcul suivant :

Programme A

Appliquer le programme A au nombre $ 3 $, en écrivant le calcul sur une seule ligne avec des parenthèses, puis donner le résultat final.
Appliquer le programme A au nombre $ 7 $, en utilisant la même présentation.
Anaïs affirme : « Quel que soit le nombre choisi, le résultat final est toujours égal à $ 5 $ fois le nombre choisi. »
1. Vérifier cette affirmation pour les deux nombres précédents.
2. Justifier cette affirmation à l'aide de la distributivité, en notant $ x $ le nombre choisi.
On considère un second programme :
Programme B
1. Choisir un nombre.
2. Le multiplier par $ 5 $.
3. Ajouter $ 1 $ au résultat.
Pour quel nombre choisi les deux programmes donnent-ils le même résultat ? Justifier.

Corrigé

On écrit le calcul sur une seule ligne avec des parenthèses :
$ (3 + 4) \times 5 - 20 = 7 \times 5 - 20 = 35 - 20 = \mathbf{15} $
De même avec le nombre $ 7 $ :
$ (7 + 4) \times 5 - 20 = 11 \times 5 - 20 = 55 - 20 = \mathbf{35} $
1. Pour $ 3 $ : $ 5 \times 3 = 15 $, qui est bien le résultat trouvé. Pour $ 7 $ : $ 5 \times 7 = 35 $, qui est aussi le résultat trouvé. L'affirmation est vérifiée dans les deux cas.
2. En notant $ x $ le nombre choisi, le programme A donne :
  $ (x + 4) \times 5 - 20 $
  On utilise la distributivité :
  $ (x + 4) \times 5 = 5 \times x + 5 \times 4 = 5x + 20 $
  Donc le résultat final s'écrit :
  $ 5x + 20 - 20 = \mathbf{5x} $
  Le résultat est bien égal à $ 5 $ fois le nombre choisi, quel que soit ce nombre.
Pour le programme B, le résultat avec un nombre $ x $ est $ 5x + 1 $. Pour le programme A, le résultat est $ 5x $. Or, pour tout nombre $ x $ :
$ 5x + 1 \ne 5x $
Les deux programmes ne donnent jamais le même résultat : leurs résultats diffèrent toujours de $ 1 $.

→ Pour réviser : Utiliser la distributivité pour calculer mentalement