Solides et repérage (prismes, cylindres)
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Piscine en prisme trapézoïdal : volume et durée de remplissage
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Une piscine privée a la forme d'un prisme droit. Vue de côté (le long de la longueur), sa section est un trapèze rectangle : la profondeur est de $ 1 $ m côté petit bain et de $ 2 $ m côté grand bain, sur une longueur totale de $ 8 $ m. La largeur de la piscine est de $ 4 $ m.
- Quelle est la nature du polygone qui sert de base à ce prisme ?
- Calculer l'aire de cette base, en m².
- En déduire le volume de la piscine, en m³.
- Convertir ce volume en litres (rappel : $ 1 $ m³ $ = 1\,000 $ L).
- La piscine est remplie par un robinet de débit constant $ 400 $ L par minute. Calculer la durée nécessaire pour la remplir entièrement, en heures et minutes.
Corrigé
- La base du prisme est un trapèze rectangle : il possède deux côtés parallèles (les profondeurs $ 1 $ m et $ 2 $ m) et un angle droit entre la longueur et l'une des profondeurs.
- L'aire d'un trapèze de bases $ B $ et $ b $ et de hauteur $ h $ est :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2} $
Ici, $ B = 2 $ m, $ b = 1 $ m et $ h = 8 $ m (la longueur sépare les deux côtés parallèles) :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(2 + 1) \times 8}{2} = \dfrac{24}{2} $ = $ 12 $ m² - Le volume d'un prisme droit est égal au produit de l'aire de sa base par sa hauteur. Ici, la hauteur du prisme est la largeur de la piscine, soit $ 4 $ m :
$ V = \mathcal{A} \times h = 12 \times 4 $ = $ 48 $ m³ - Pour convertir des m³ en litres, on multiplie par $ 1\,000 $ :
$ V = 48 \times 1\,000 $ = $ 48\,000 $ L - La durée de remplissage est le quotient du volume à remplir par le débit :
$ d = \dfrac{48\,000}{400} = 120 $ min
On effectue la division euclidienne par $ 60 $ : $ 120 = 2 \times 60 + 0 $.
La durée est de $ 2 $ h $ 0 $ min, soit $ 2 $ heures.
Pour réviser : Calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre