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Divisibilité et nombres premiers Exercices

Nombres premiers : tests, contre-exemples et démonstration

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

  1. Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont premiers. Pour ceux qui ne le sont pas, donner un produit de deux entiers (autres que $ 1 $ et le nombre lui-même).

    1. $ 51 $
    2. $ 91 $
    3. $ 97 $
    4. $ 113 $
  2. Léo affirme : « Tout nombre impair est un nombre premier. » Donner un contre-exemple pour montrer que cette affirmation est fausse.
  3. Marie souhaite distribuer $ 91 $ cartes entre ses amis, en donnant le même nombre de cartes à chacun, sans qu'il en reste. Elle ne se compte pas elle-même et ne souhaite pas avoir un seul ami qui prendrait toutes les cartes. Trouver tous les nombres possibles d'amis.
  4. Démontrer que tout nombre premier autre que $ 2 $ et $ 3 $ a un reste égal à $ 1 $ ou à $ 5 $ dans la division euclidienne par $ 6 $.

Corrigé

    1. La somme des chiffres de $ 51 $ est $ 5 + 1 = 6 $, divisible par $ 3 $.
      Donc $ 51 = 3 \times 17 $ et $ 51 $ n'est pas premier.
    2. $ 91 $ n'est pas divisible par $ 2 $, $ 3 $ ni $ 5 $. On teste $ 7 $ : $ 91 = 7 \times 13 $.
      $ 91 $ n'est pas premier.

    3. On teste les nombres premiers successifs :

      • $ 97 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
      • $ 9 + 7 = 16 $, non divisible par $ 3 $.
      • Le chiffre des unités est $ 7 $, donc non divisible par $ 5 $.
      • $ 97 = 7 \times 13 + 6 $, donc non divisible par $ 7 $.

      Comme $ 11 \times 11 = 121 > 97 $, il est inutile d'aller plus loin : si $ 97 $ avait un diviseur premier $ p \geqslant 11 $, le diviseur associé serait inférieur à $ 11 $ et aurait déjà été trouvé.
      $ 97 $ est premier.

    4. On teste les nombres premiers successifs :

      • $ 113 $ est impair.
      • $ 1 + 1 + 3 = 5 $, non divisible par $ 3 $.
      • Le chiffre des unités est $ 3 $, donc non divisible par $ 5 $.
      • $ 113 = 7 \times 16 + 1 $, donc non divisible par $ 7 $.

      Comme $ 11 \times 11 = 121 > 113 $, on s'arrête.
      $ 113 $ est premier.

  2. Le nombre $ 9 $ est impair (il s'écrit $ 2 \times 4 + 1 $) mais $\mathbf{9 = 3 \times 3}$, donc $ 9 $ admet $ 3 $ comme diviseur en plus de $ 1 $ et $ 9 $.
    $ 9 $ n'est donc pas premier : c'est un contre-exemple à l'affirmation de Léo.
    (D'autres contre-exemples possibles : $ 15 = 3 \times 5 $, $ 21 = 3 \times 7 $, $ 25 = 5 \times 5 $...)
  3. Le nombre d'amis de Marie doit être un diviseur de $ 91 $, autre que $ 1 $ et $ 91 $.
    D'après la question 1.b, $ 91 = 7 \times 13 $. Les diviseurs de $ 91 $ sont donc : $ 1 $, $ 7 $, $ 13 $ et $ 91 $.
    En excluant $ 1 $ et $ 91 $, Marie peut distribuer ses cartes à $ 7 $ amis (chacun reçoit $ 13 $ cartes) ou à $ 13 $ amis (chacun reçoit $ 7 $ cartes).

  4. Soit $ p $ un nombre premier autre que $ 2 $ et $ 3 $. La division euclidienne de $ p $ par $ 6 $ s'écrit :

    $ p = 6q + r $ avec $ 0 \leqslant r < 6 $

    Ainsi, $ r $ peut prendre l'une des valeurs : $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $ ou $ 5 $.

    On examine chaque cas :

    • Si $ r = 0 $ : $ p = 6q = 2 \times (3q) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $. Or $ p $ est premier et différent de $ 2 $ : impossible.
    • Si $ r = 2 $ : $ p = 6q + 2 = 2 \times (3q + 1) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $ : impossible.
    • Si $ r = 3 $ : $ p = 6q + 3 = 3 \times (2q + 1) $, donc $ p $ est divisible par $ 3 $. Or $ p $ est premier et différent de $ 3 $ : impossible.
    • Si $ r = 4 $ : $ p = 6q + 4 = 2 \times (3q + 2) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $ : impossible.

    Il ne reste donc que les valeurs $ r = 1 $ ou $ r = 5 $.
    On peut le vérifier sur quelques exemples : $ 5 = 6 \times 0 + 5 $, $ 7 = 6 \times 1 + 1 $, $ 11 = 6 \times 1 + 5 $, $ 13 = 6 \times 2 + 1 $, $ 17 = 6 \times 2 + 5 $, $ 19 = 6 \times 3 + 1 $...

→ Pour réviser : Reconnaître si un nombre est premier