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Fractions : sens et comparaison Exercices

Modes de transport au collège : fractions, comparaison et proportions

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs travaillés

Une enquête est menée auprès de $ 360 $ élèves d'un collège pour connaître leur mode de transport pour venir le matin. Les résultats sont les suivants :

  • $ \dfrac{5}{12} $ des élèves viennent à pied,
  • $ \dfrac{1}{4} $ des élèves viennent à vélo,
  • $ \dfrac{1}{8} $ des élèves prennent le bus,
  • les autres viennent en voiture.
  1. Calculer le nombre d'élèves dans chacune des trois catégories « à pied », « à vélo » et « en bus ».
  2. En déduire le nombre d'élèves venant en voiture.
  3. Exprimer la proportion d'élèves venant en voiture sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum.
  4. Comparer les fractions $ \dfrac{5}{12} $, $ \dfrac{1}{4} $, $ \dfrac{1}{8} $ et la fraction trouvée à la question 3, en les réduisant au même dénominateur. Ranger les quatre modes de transport dans l'ordre croissant de fréquence.
  5. Le directeur du collège affirme : « Plus de la moitié des élèves viennent au collège sans véhicule motorisé (c'est-à-dire à pied ou à vélo). » A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Corrigé

  1. On calcule chaque effectif comme une fraction de $ 360 $.

    À pied : $ \dfrac{5}{12} \times 360 = \dfrac{5 \times 360}{12} = \dfrac{1\,800}{12} = 150 $
    Il y a $ 150 $ élèves qui viennent à pied.

    À vélo : $ \dfrac{1}{4} \times 360 = \dfrac{360}{4} = 90 $
    Il y a $ 90 $ élèves qui viennent à vélo.

    En bus : $ \dfrac{1}{8} \times 360 = \dfrac{360}{8} = 45 $
    Il y a $ 45 $ élèves qui prennent le bus.

  2. Les autres élèves viennent en voiture :
    $ 360 - 150 - 90 - 45 = 75 $
    Il y a $ 75 $ élèves qui viennent en voiture.

  3. La proportion d'élèves venant en voiture est $ \dfrac{75}{360} $.

    $ 75 $ et $ 360 $ se terminent par $ 5 $ ou $ 0 $, donc divisibles par $ 5 $ :
    $ \dfrac{75}{360} = \dfrac{15}{72} $
    $ 15 $ et $ 72 $ sont divisibles par $ 3 $ ($ 1 + 5 = 6 $ et $ 7 + 2 = 9 $) :
    $ \dfrac{15}{72} = \dfrac{5}{24} $
    $ 5 $ et $ 24 $ n'ont plus de diviseur commun autre que $ 1 $.

    La proportion d'élèves venant en voiture est $\mathbf{\dfrac{5}{24}}$.

  4. Un multiple commun de $ 12 $, $ 4 $, $ 8 $ et $ 24 $ est $ 24 $. On écrit chaque fraction avec le dénominateur $ 24 $ :

    • $ \dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \times 2}{12 \times 2} = \dfrac{10}{24} $ (à pied)
    • $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{6}{24} $ (à vélo)
    • $ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{3}{24} $ (en bus)
    • $ \dfrac{5}{24} $ (en voiture)

    On compare les numérateurs : $ 3 < 5 < 6 < 10 $.

    Rangement dans l'ordre croissant de fréquence :
    bus < voiture < vélo < à pied
    (soit $ \dfrac{1}{8} < \dfrac{5}{24} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{5}{12} $).

  5. Le nombre d'élèves venant à pied ou à vélo est :
    $ 150 + 90 = 240 $

    La moitié de l'effectif total est $ \dfrac{360}{2} = 180 $.

    Comme $ 240 > 180 $, plus de la moitié des élèves viennent au collège à pied ou à vélo.

    Le directeur a raison.

Pour réviser : Comparer des fractions