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Divisibilité et nombres premiers Exercices

Décomposition en facteurs premiers et simplification de fractions

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

  1. Décomposer chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers :

    1. $ 90 $
    2. $ 132 $
    3. $ 360 $

  2. À l'aide des décompositions précédentes, simplifier les fractions suivantes au maximum :

    1. $ \dfrac{90}{132} $
    2. $ \dfrac{360}{132} $
  3. Donner la liste de tous les diviseurs de $ 90 $ en utilisant sa décomposition en facteurs premiers.

Corrigé

    1. On divise successivement par les nombres premiers à partir de $ 2 $ :
      $ 90 = 2 \times 45 $
      $ 45 = 3 \times 15 $
      $ 15 = 3 \times 5 $

      $ 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = $ $\mathbf{2 \times 3^2 \times 5}$

    2. $ 132 = 2 \times 66 $
      $ 66 = 2 \times 33 $
      $ 33 = 3 \times 11 $

      $ 132 = 2 \times 2 \times 3 \times 11 = $ $\mathbf{2^2 \times 3 \times 11}$

    3. $ 360 = 2 \times 180 $
      $ 180 = 2 \times 90 $
      $ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 $ (d'après la question 1.a)

      $ 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3^2 \times 5 = $ $\mathbf{2^3 \times 3^2 \times 5}$

    1. On utilise les décompositions de $ 90 $ et $ 132 $ :

      $ \dfrac{90}{132} = \dfrac{2 \times 3 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 11} $

      On simplifie les facteurs communs ($ 2 $ et un $ 3 $) :

      $ \dfrac{90}{132} = \dfrac{3 \times 5}{2 \times 11} = $ $\mathbf{\dfrac{15}{22}}$

    2. On utilise les décompositions de $ 360 $ et $ 132 $ :

      $ \dfrac{360}{132} = \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 11} $

      On simplifie les facteurs communs (deux $ 2 $ et un $ 3 $) :

      $ \dfrac{360}{132} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{11} = $ $\mathbf{\dfrac{30}{11}}$

  3. La décomposition de $ 90 $ est $ 2 \times 3^2 \times 5 $. Tous les diviseurs de $ 90 $ s'obtiennent en combinant les facteurs premiers $ 2 $, $ 3 $, $ 3 $ et $ 5 $ (en prenant ou non chaque facteur) :

    • avec aucun facteur : $ 1 $
    • avec un seul facteur : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $
    • avec deux facteurs : $ 2 \times 3 = 6 $, $ 2 \times 5 = 10 $, $ 3 \times 3 = 9 $, $ 3 \times 5 = 15 $
    • avec trois facteurs : $ 2 \times 3 \times 3 = 18 $, $ 2 \times 3 \times 5 = 30 $, $ 3 \times 3 \times 5 = 45 $
    • avec tous les facteurs : $ 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90 $

    Les diviseurs de $ 90 $ sont : $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 6 $, $ 9 $, $ 10 $, $ 15 $, $ 18 $, $ 30 $, $ 45 $ et $ 90 $ (12 diviseurs).

→ Pour réviser : Décomposer un entier en produit de facteurs premiers