Simplifier une fraction grâce à la décomposition

Pour simplifier une fraction :

Décomposer le numérateur en produit de facteurs premiers.
Décomposer le dénominateur en produit de facteurs premiers.
Identifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
Simplifier en divisant le numérateur et le dénominateur par ces facteurs communs.

Simplifier la fraction $ \dfrac{30}{42} $.

Étape 1 : On décompose le numérateur :
$ 30 = 2 \times 3 \times 5 $

Étape 2 : On décompose le dénominateur :
$ 42 = 2 \times 3 \times 7 $

Étape 3 : Les facteurs communs sont $ 2 $ et $ 3 $.

Étape 4 : On simplifie :

$ \dfrac{30}{42} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{2 \times 3 \times 7} = \dfrac{5}{7} $

Simplifier la fraction $ \dfrac{56}{72} $.

Étape 1 : On décompose le numérateur :
$ 56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7 $

Étape 2 : On décompose le dénominateur :
$ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 $

Étape 3 : Le facteur commun est $ 2^3 = 8 $.

Étape 4 : On simplifie :

$ \dfrac{56}{72} = \dfrac{2^3 \times 7}{2^3 \times 3^2} = \dfrac{7}{9} $

On ne peut simplifier que par des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Si un facteur premier n'apparaît que dans l'un des deux, il reste dans la fraction simplifiée.
Vérifier le résultat : $ \dfrac{30}{42} = \dfrac{5}{7} $ car $ 30 \times 7 = 210 $ et $ 42 \times 5 = 210 $ (les produits en croix sont égaux).

Pour s'entraîner