Cuve conique et sa maquette à l’échelle 1/10
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Un parc aquatique veut installer une grande cuve d'eau en forme de cône de révolution renversé (sommet vers le bas). Les dimensions de la cuve réelle sont : rayon de la base $r = 2$ m et hauteur $h = 3$ m.
Pour la présentation au conseil municipal, on construit une maquette de la cuve à l'échelle $\dfrac{1}{10}$.
- Calculer la valeur exacte du volume $V_{\text{réel}}$ de la cuve, en m³, en fonction de $\pi$.
- Donner la valeur de $V_{\text{réel}}$ arrondie au litre près. (Rappel : $1$ m³ $= 1\,000$ L.)
- Donner les dimensions (rayon et hauteur) de la maquette, en cm.
- Calculer la valeur exacte du volume $V_{\text{maquette}}$ de la maquette, en cm³, puis en donner une valeur arrondie au cm³ près.
- Convertir $V_{\text{réel}}$ en cm³, puis vérifier que $V_{\text{réel}} = 10^3 \times V_{\text{maquette}}$.
Corrigé
On applique la formule du volume d'un cône avec $r = 2$ m et $h = 3$ m :
$V_{\text{réel}} = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 3}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 3}{3} = 4\,\pi$
La valeur exacte est $V_{\text{réel}} = 4\,\pi$ m³.
Conversion en litres : $4\,\pi$ m³ $= 4\,\pi \times 1\,000 = 4\,000\,\pi$ L.
À la calculatrice : $4\,000 \times \pi \approx 12\,566{,}37$.
Arrondi au litre : $V_{\text{réel}} \approx 12\,566$ L.
La maquette est une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{10}$. Toutes les longueurs sont multipliées par $k$ :
- rayon : $r' = 2 \times \dfrac{1}{10} = 0{,}2$ m $= 20$ cm
- hauteur : $h' = 3 \times \dfrac{1}{10} = 0{,}3$ m $= 30$ cm
La maquette a un rayon de $20$ cm et une hauteur de $30$ cm.
On applique la formule du volume du cône, avec les dimensions de la maquette en cm :
$V_{\text{maquette}} = \dfrac{\pi \times 20^2 \times 30}{3} = \dfrac{\pi \times 400 \times 30}{3} = \dfrac{12\,000\,\pi}{3} = 4\,000\,\pi$
La valeur exacte est $V_{\text{maquette}} = 4\,000\,\pi$ cm³.
À la calculatrice : $4\,000 \times \pi \approx 12\,566{,}37$, soit $V_{\text{maquette}} \approx 12\,566$ cm³.
Conversion : $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³, donc :
$V_{\text{réel}} = 4\,\pi$ m³ $= 4\,\pi \times 1\,000\,000 = 4\,000\,000\,\pi$ cm³
On compare avec $10^3 \times V_{\text{maquette}}$ :
$10^3 \times V_{\text{maquette}} = 1\,000 \times 4\,000\,\pi = 4\,000\,000\,\pi$ cm³
On obtient bien $V_{\text{réel}} = 10^3 \times V_{\text{maquette}}$, ce qui confirme la propriété : pour une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{10}$, les volumes sont multipliés par $k^3 = \dfrac{1}{1\,000}$.