Statistiques
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I - Exemple et vocabulaire
On interroge les 25 élèves d'un club sportif afin de connaître leurs âges.
Voici leurs réponses, triées par ordre croissant :
11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 14 ;
14 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 16 ; 17 ; 17 ; 17 ; 17.
- L'ensemble de ces résultats forme une série statistique.
- La population étudiée est l'ensemble des élèves du club sportif.
- Le caractère étudié est l'âge des élèves.
- Dans notre exemple, ce caractère peut prendre sept valeurs distinctes : 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17.
- Pour chacune de ces valeurs, l'effectif correspond au nombre de fois où la valeur a été obtenue.
Par exemple, l'effectif de la valeur 11 est 2, l'effectif de la valeur 12 est 4, etc. - L'effectif total est le nombre d'élèves du club.
Ici, l'effectif total est 25.
Pour présenter les résultats de manière plus pratique, on utilise fréquemment un tableau des effectifs :
| âges | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| effectifs | 2 | 4 | 4 | 6 | 2 | 3 | 4 |
II - Fréquences
Définition
La fréquence d'une valeur s'obtient en divisant l'effectif de cette valeur par l'effectif total :
Remarque
Les fréquences peuvent être exprimées sous forme fractionnaire, sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.
Exemple
Si l'on reprend l'exemple du paragraphe I, la fréquence des élèves âgés de 11 ans est :
L'ensemble des fréquences de cet exemple peut être présenté dans un tableau :
| âges | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| fréquences | 0,08 | 0,16 | 0,16 | 0,24 | 0,08 | 0,12 | 0,16 |
| fréquences en % | 8% | 16% | 16% | 24% | 8% | 12% | 16% |
Propriété
La somme de toutes les fréquences est égale à 1 (c'est-à-dire 100%).
III - Moyenne
Définition
La moyenne d'une série statistique s'obtient en divisant la somme de toutes les valeurs de la série par l'effectif total.
Si l'on note $ x_1, x_2, x_3, \cdots, x_N $ les valeurs de la série et $ N $ l'effectif total, la moyenne $ \bar{x} $ vaut :
Exemple
Sonia a obtenu les notes suivantes à ses contrôles de mathématiques :
14 ; 9 ; 12 ; 13 ; 12 ; 15
L'effectif total est de 6 notes. La moyenne vaut :
$ \bar{x} = \dfrac{14 + 9 + 12 + 13 + 12 + 15}{6} = 12{,}5 $
Moyenne pondérée
Lorsque les valeurs sont regroupées dans un tableau d'effectifs, on peut calculer la moyenne en multipliant chaque valeur par son effectif, puis en divisant la somme obtenue par l'effectif total.
Exemple
Si l'on reprend la série statistique de la partie I, le tableau des effectifs montre que l'âge de 11 ans est présent 2 fois, l'âge de 12 ans : 4 fois, l'âge de 13 ans : 4 fois, etc.
La moyenne vaut alors :
IV - Médiane
Définition
On s'intéresse à une série statistique dont on a classé les valeurs par ordre croissant.
La médiane est la valeur qui partage cette série en deux groupes de même effectif.
Déterminer la médiane
On range les $ N $ valeurs par ordre croissant.
- Si $ N $ est impair : la médiane est la valeur située en position $ \dfrac{N + 1}{2} $.
- Si $ N $ est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs situées en positions $ \dfrac{N}{2} $ et $ \dfrac{N}{2} + 1 $.
Effectif total impair
Chiara a obtenu les cinq notes suivantes :
15 ; 12 ; 7 ; 13 ; 17.
On ordonne ces notes :
7 ; 12 ; 13 ; 15 ; 17.
L'effectif total est 5 (impair). La note médiane est en position $ \dfrac{5 + 1}{2} = 3 $, c'est-à-dire la 3e valeur.
La médiane est 13 (il y a deux notes inférieures et deux notes supérieures).
Effectif total pair — valeurs centrales égales
Luc a obtenu les six notes suivantes (déjà triées par ordre croissant) :
11 ; 12 ; 14 ; 14 ; 15 ; 17.
L'effectif total est 6 (pair). La médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : $ \dfrac{14 + 14}{2} = 14 $.
Effectif total pair — valeurs centrales différentes
Sacha a obtenu les six notes suivantes (triées par ordre croissant) :
7 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16.
La médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : $ \dfrac{12 + 13}{2} = 12{,}5 $.
V - Étendue d'une série statistique
Définition
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série.
Exemple
Si l'on reprend l'exemple de la partie I :
| âges | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| effectifs | 2 | 4 | 4 | 6 | 2 | 3 | 4 |
L'étendue est :
Cela correspond à la différence d'âge entre l'élève le plus âgé et l'élève le plus jeune.
Remarque
L'étendue mesure la dispersion d'une série statistique. Par exemple, si l'on considère les notes d'un élève, une étendue élevée signifiera que ses résultats sont irréguliers.
VI - Quartiles
Définition
On considère une série statistique dont les valeurs sont rangées par ordre croissant.
- Le premier quartile $ Q_1 $ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- Le troisième quartile $ Q_3 $ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75% des valeurs lui sont inférieures ou égales.
Déterminer les quartiles
On range les $ N $ valeurs par ordre croissant.
- On calcule $ \dfrac{N}{4} $. On arrondit à l'entier supérieur si nécessaire : $ Q_1 $ est la valeur située à ce rang.
- On calcule $ \dfrac{3 \times N}{4} $. On arrondit à l'entier supérieur si nécessaire : $ Q_3 $ est la valeur située à ce rang.
Exemple
On reprend la série des âges de la partie I (25 valeurs rangées par ordre croissant) :
11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 16 ; 17 ; 17 ; 17 ; 17.
Pour le premier quartile : $ \dfrac{25}{4} = 6{,}25 $, on arrondit à 7.
La 7e valeur est 13, donc $ Q_1 = 13 $.
Pour le troisième quartile : $ \dfrac{3 \times 25}{4} = 18{,}75 $, on arrondit à 19.
La 19e valeur est 16, donc $ Q_3 = 16 $.
Au moins 25% des élèves ont 13 ans ou moins, et au moins 75% ont 16 ans ou moins.
Remarque
La médiane et les quartiles sont des indicateurs de position. Ils permettent de résumer la répartition des données d'une série statistique.
VII - Représentations graphiques
Diagramme en bâtons
Un diagramme en bâtons représente chaque valeur d'une série par un bâton vertical dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) de cette valeur.
Exemple
Voici le diagramme en bâtons des âges des 25 élèves du club sportif (partie I) :
Diagramme circulaire
Un diagramme circulaire représente les fréquences d'une série par des secteurs angulaires. Pour une valeur de fréquence $ f $ (en pourcentage), la mesure de l'angle correspondant est :
Exemple
Si l'on reprend l'exemple de la partie I, l'âge de 14 ans a une fréquence de 24%. L'angle correspondant dans un diagramme circulaire est :
$ \dfrac{24}{100} \times 360 = 86{,}4° $
En procédant de même pour chaque âge, on obtient le diagramme circulaire suivant :
Histogramme
Lorsque les données sont regroupées en classes (intervalles de même amplitude), on les représente par un histogramme : des rectangles accolés dont la base correspond à la classe et dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif de cette classe.
Exemple
On a relevé les tailles (en cm) des élèves d'une classe de 3e. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
| Taille (en cm) | [150 ; 155[ | [155 ; 160[ | [160 ; 165[ | [165 ; 170[ | [170 ; 175[ |
| effectif | 3 | 7 | 10 | 6 | 4 |
On représente cette série par un histogramme dans lequel chaque rectangle correspond à une classe. Les rectangles sont accolés et ont tous la même largeur car les classes sont de même amplitude (5 cm).
Remarque
Contrairement au diagramme en bâtons, les rectangles d'un histogramme sont accolés (pas d'espace entre eux), car les classes se succèdent sans interruption.
Les questions essentielles
1. Comment calculer la moyenne d'une série statistique ?
On additionne toutes les valeurs de la série puis on divise par l'effectif total. Lorsque les données sont regroupées dans un tableau d'effectifs, on multiplie chaque valeur par son effectif avant de diviser par l'effectif total.
Voir la fiche méthode : Calculer la moyenne d'une série statistique
2. Comment déterminer la médiane d'une série statistique ?
On range les valeurs par ordre croissant. Si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale. S'il est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
Voir la fiche méthode : Déterminer la médiane d'une série statistique
3. Comment déterminer les quartiles d'une série statistique ?
On range les valeurs par ordre croissant. Le premier quartile est la valeur au rang correspondant au quart de l'effectif total (arrondi à l'entier supérieur). Le troisième quartile est la valeur au rang correspondant aux trois quarts de l'effectif total.
Voir la fiche méthode : Déterminer les quartiles d'une série statistique
4. Comment calculer des fréquences et construire un diagramme circulaire ?
La fréquence d'une valeur se calcule en divisant son effectif par l'effectif total. Pour le diagramme circulaire, on convertit chaque fréquence en angle en multipliant par 360°.
Voir la fiche méthode : Calculer des fréquences et construire un diagramme circulaire