Statistiques : bilan d’un club de musique
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Le club de musique d'un collège compte 30 adhérents. Une enquête a été menée auprès de chacun.
Partie A — Instruments pratiqués
L'instrument principal pratiqué par chacun a été relevé.
| Instrument | Piano | Guitare | Violon | Batterie | Flûte |
| Effectif | 9 | 12 | 3 | 4 | 2 |
- Calculer la fréquence (en pourcentage) correspondant à chaque instrument. Arrondir au dixième de pourcent si nécessaire.
- Calculer l'angle (en degrés) que devra avoir chaque secteur dans un diagramme circulaire représentant cette série.
- Construire le diagramme circulaire de cette série.
Partie B — Années de pratique
Chaque adhérent a indiqué le nombre d'années depuis lesquelles il pratique la musique. Les 30 réponses ont été regroupées dans le tableau ci-dessous :
| Années | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Effectif | 4 | 4 | 4 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 1 |
- Calculer le nombre moyen d'années de pratique. Arrondir au dixième.
- Déterminer la médiane et l'étendue de cette série.
- La présidente du club affirme : « Plus de la moitié des adhérents pratiquent la musique depuis au moins 4 ans. » A-t-elle raison ? Justifier.
Corrigé
Partie A — Instruments pratiqués
La fréquence d'un instrument est obtenue en divisant son effectif par l'effectif total (30), puis en exprimant le résultat en pourcentage.
Piano : $ \dfrac{9}{30} = 0{,}30 = $ $\mathbf{30\%}$
Guitare : $ \dfrac{12}{30} = 0{,}40 = $ $\mathbf{40\%}$
Violon : $ \dfrac{3}{30} = 0{,}10 = $ $\mathbf{10\%}$
Batterie : $ \dfrac{4}{30} \approx 0{,}133 \approx $ $\mathbf{13{,}3\%}$
Flûte : $ \dfrac{2}{30} \approx 0{,}067 \approx $ $\mathbf{6{,}7\%}$
Vérification : $ 30 + 40 + 10 + 13{,}3 + 6{,}7 = 100 $ ; la somme des fréquences est bien de $ 100\% $.
L'angle d'un secteur se calcule par :
$ \text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360^{\circ} $Piano : $ \dfrac{9}{30} \times 360 = 108^{\circ} $
Guitare : $ \dfrac{12}{30} \times 360 = 144^{\circ} $
Violon : $ \dfrac{3}{30} \times 360 = 36^{\circ} $
Batterie : $ \dfrac{4}{30} \times 360 = 48^{\circ} $
Flûte : $ \dfrac{2}{30} \times 360 = 24^{\circ} $
Vérification : $ 108 + 144 + 36 + 48 + 24 = 360 $ ; la somme des angles est bien de $ 360^{\circ} $.
On obtient le diagramme circulaire suivant :
Partie B — Années de pratique
On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 4 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 4 + 6 \times 3 + 7 \times 3 + 8 \times 2 + 9 \times 1}{30} $
$ \bar{x} = \dfrac{4 + 8 + 12 + 20 + 20 + 18 + 21 + 16 + 9}{30} = \dfrac{128}{30} \approx 4{,}3 $Le nombre moyen d'années de pratique est d'environ 4,3 ans.
L'effectif total est $ N = 30 $ (pair). La médiane est la moyenne des valeurs en positions $ \dfrac{30}{2} = 15 $ et $ \dfrac{30}{2} + 1 = 16 $.
On calcule les effectifs cumulés croissants :
Années 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Effectif 4 4 4 5 4 3 3 2 1 Eff. cumulé 4 8 12 17 21 24 27 29 30 L'effectif cumulé atteint 12 à la valeur 3 et passe à 17 à la valeur 4. Les 15e et 16e valeurs valent donc toutes les deux 4.
$ M_e = \dfrac{4 + 4}{2} = 4 $
La médiane est de 4 ans.
L'étendue vaut $ 9 - 1 = 8 $. Elle est de 8 ans.
On compte les adhérents qui pratiquent depuis au moins 4 ans, c'est-à-dire dont la valeur est supérieure ou égale à 4 :
$ 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 = 18 $La fréquence correspondante est :
$ \dfrac{18}{30} = 0{,}6 = 60\% $Comme $ 60\% > 50\% $, la présidente a raison : 18 adhérents sur 30, soit $ 60\% $, pratiquent la musique depuis au moins 4 ans, ce qui représente bien plus de la moitié.