Construire l’image d’un trapèze et calculer son aire
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Créer un compteObjectifs travaillés
Sur un quadrillage où chaque carreau mesure $ 1 $ cm de côté, on a tracé un trapèze $ ABCD $ et un point $ E $.
- Démontrer que $ ABCD $ est un trapèze rectangle. Préciser les longueurs de ses côtés parallèles et de sa hauteur.
- Calculer l'aire du trapèze $ ABCD $.
- Sur le quadrillage, construire $ A'B'C'D' $, l'image du trapèze $ ABCD $ par la translation qui transforme $ A $ en $ E $.
- Sans faire de nouveau calcul, donner l'aire du trapèze $ A'B'C'D' $. Justifier la réponse.
- Déterminer la nature du quadrilatère $ A'B'C'D' $. Justifier.
Corrigé
En lisant les coordonnées sur le quadrillage :
- Le segment $ [AD] $ est vertical : $ AD = 3 - 1 = 2 $ cm.
- Le segment $ [BC] $ est vertical : $ BC = 4 - 1 = 3 $ cm.
- Le segment $ [AB] $ est horizontal : $ AB = 5 - 1 = 4 $ cm.
Comme $ [AD] $ et $ [BC] $ sont tous les deux verticaux, ils sont parallèles. Le quadrilatère $ ABCD $ possède donc deux côtés parallèles : c'est un trapèze.
De plus, le côté $ [AB] $ est horizontal, donc perpendiculaire aux deux côtés parallèles $ [AD] $ et $ [BC] $. Le trapèze $ ABCD $ possède deux angles droits consécutifs en $ A $ et en $ B $.
ABCD est donc un trapèze rectangle, dont les côtés parallèles mesurent $ AD = 2 $ cm et $ BC = 3 $ cm, et dont la hauteur est $ AB = 4 $ cm.
L'aire d'un trapèze de bases $ b $ et $ B $ et de hauteur $ h $ est donnée par :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(b + B) \times h}{2} $Avec $ b = AD = 2 $ cm, $ B = BC = 3 $ cm et $ h = AB = 4 $ cm :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(2 + 3) \times 4}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 $ cm²L'aire du trapèze $ ABCD $ vaut 10 cm².
La translation qui transforme $ A $ en $ E $ correspond à un déplacement de $ 3 $ carreaux vers la droite et de $ 2 $ carreaux vers le haut (lecture des coordonnées de $ A(1\,;\,1) $ à $ E(4\,;\,3) $).
On applique le même déplacement à chaque sommet du trapèze :
- $ A(1\,;\,1) $ a pour image $ A'(4\,;\,3) $.
- $ B(5\,;\,1) $ a pour image $ B'(8\,;\,3) $.
- $ C(5\,;\,4) $ a pour image $ C'(8\,;\,6) $.
- $ D(1\,;\,3) $ a pour image $ D'(4\,;\,5) $.
On relie ensuite $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ dans cet ordre pour obtenir le trapèze image.
Une translation conserve les aires. Le trapèze $ A'B'C'D' $ a donc la même aire que $ ABCD $.
L'aire de $ A'B'C'D' $ vaut 10 cm².
Une translation conserve la nature des figures, les longueurs, les angles et le parallélisme.
Comme $ ABCD $ est un trapèze rectangle de côtés parallèles $ AD = 2 $ cm et $ BC = 3 $ cm et de hauteur $ 4 $ cm :
A'B'C'D' est aussi un trapèze rectangle, avec $ A'D' = 2 $ cm, $ B'C' = 3 $ cm et $ A'B' = 4 $ cm.