Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Symétrie centrale Exercices

Le blason symétrique : synthèse des propriétés

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

Léa dessine le blason de son club en partant d'un quadrilatère $ ABCD $ vérifiant :

  • $ AB = 5 $ cm, $ BC = 3 $ cm, $ CD = 4 $ cm, $ DA = 6 $ cm ;
  • aire du quadrilatère $ ABCD $ : $ 14 $ cm² ;
  • $ \widehat{ADC} = 75° $.

Pour terminer son blason, elle choisit un point $ O $ extérieur au quadrilatère et construit le quadrilatère $ A'B'C'D' $, symétrique de $ ABCD $ par rapport à $ O $.

Quadrilatère ABCD et un point O extérieur, à partir desquels on doit construire le quadrilatère symétrique

Le blason final est constitué des deux quadrilatères $ ABCD $ et $ A'B'C'D' $.

  1. Donner les longueurs des côtés du quadrilatère $ A'B'C'D' $. Justifier la réponse.
  2. Donner la mesure de l'angle $ \widehat{A'D'C'} $. Justifier la réponse.
  3. Calculer le périmètre du quadrilatère $ ABCD $, puis le périmètre total du blason (les deux quadrilatères réunis).
  4. Calculer l'aire totale du blason.
  5. Inès affirme : « Le côté $ [A'B'] $ est porté par une droite parallèle à la droite $ (AB) $. » A-t-elle raison ? Justifier.
  6. Léa relie le point $ D $ au point $ D' $. Justifier que le point $ O $ est le milieu du segment $ [DD'] $.

Corrigé

  1. La symétrie centrale conserve les longueurs. Les côtés du quadrilatère image ont donc les mêmes longueurs que ceux de $ ABCD $ :
    $ A'B' = AB = $ $ 5 $ cm, $ B'C' = BC = $ $ 3 $ cm, $ C'D' = CD = $ $ 4 $ cm, $ D'A' = DA = $ $ 6 $ cm.
  2. La symétrie centrale conserve les mesures des angles, donc $ \widehat{A'D'C'} = \widehat{ADC} = $ $\mathbf{75°}$.

  3. Le périmètre de $ ABCD $ est :
    $ \mathcal{P}_{ABCD} = 5 + 3 + 4 + 6 = 18 $ cm.

    La symétrie centrale conserve les longueurs, donc le quadrilatère $ A'B'C'D' $ a le même périmètre. Le périmètre total du blason est donc :
    $ \mathcal{P}_{\text{blason}} = 2 \times 18 $ = $ 36 $ cm.

  4. La symétrie centrale conserve les aires. L'aire de $ A'B'C'D' $ est donc également de $ 14 $ cm². Comme les deux quadrilatères sont disjoints (car $ O $ est extérieur à $ ABCD $), l'aire totale du blason est :
    $ \mathcal{A}_{\text{blason}} = 2 \times 14 $ = $ 28 $ cm².

  5. La droite $ (A'B') $ est, par construction, le symétrique de la droite $ (AB) $ par rapport à $ O $. Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.

    Donc $ (AB)\,/\!/\,(A'B') $ : Inès a raison.

  6. Par construction, $ D' $ est le symétrique de $ D $ par rapport à $ O $. Par définition de la symétrie centrale, cela signifie exactement que $ O $ est le milieu du segment $ [DD'] $.