Symétrie centrale
Exercices
Symétrique d’un cercle et droites parallèles
10 minutes
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Sur la figure, on a tracé un cercle $ \mathcal{C} $ de centre $ I $ et de rayon $ 3 $ cm, ainsi qu'un point $ O $ extérieur au cercle. Une droite $ (d) $ coupe le cercle en deux points $ A $ et $ B $.
On note $ \mathcal{C}' $ le symétrique du cercle $ \mathcal{C} $ par rapport à $ O $, et $ (d') $ le symétrique de la droite $ (d) $ par rapport à $ O $.
- Construire le point $ I' $, symétrique de $ I $ par rapport à $ O $.
- Quel est le rayon du cercle $ \mathcal{C}' $ ? Justifier.
- Justifier que les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont parallèles.
- On mesure $ IO = 5 $ cm. Calculer la distance $ II' $.
Corrigé
- Le point $ I' $ est tel que $ O $ est le milieu du segment $ [II'] $. On le construit en traçant la demi-droite $ [IO) $ et en reportant la longueur $ IO $ de l'autre côté de $ O $.
- La symétrie centrale conserve les longueurs. Le cercle $ \mathcal{C}' $ a donc le même rayon que $ \mathcal{C} $, soit $ 3 $ cm. Son centre est le point $ I' $.
Les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont symétriques par rapport au point $ O $.
Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.
Donc $\mathbf{(d)\,/\!/\,(d')}$.
- Comme $ I' $ est le symétrique de $ I $ par rapport à $ O $, le point $ O $ est le milieu du segment $ [II'] $. On a donc $ OI = OI' = 5 $ cm, d'où :
$ II' = OI + OI' = 5 + 5 $ = $ 10 $ cm.