Problème récapitulatif sur les suites

Partie A

1. On applique la formule de récurrence.

   $ u_{1}=\dfrac{2u_{0}}{u_{0}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3} $

   $ u_{2}=\dfrac{2u_{1}}{u_{1}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5} $

2. La fonction $ f $ est dérivable sur $ ]-1~;~+\infty[ $ et :

   $ f^{\prime}(x) =\dfrac{2(x+1) - 2x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2}{(x+1)^{2}} $

   Comme $ (x+1)^2 > 0 $ sur $ ]-1~;~+\infty[ $, $ f^{\prime} $ est strictement positive sur cet intervalle, donc $ f $ est strictement croissante sur $ ]-1~;~+\infty[ $.

3. 1. Construction graphique des premiers termes de la suite :

      
   2. La suite $ (u_n) $ semble croissante et convergente vers $ 1 $.

Partie B

1. 1. Initialisation.

      Montrons que $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 1 $.

      On a $ u_0 = \dfrac{1}{2} $ et $ u_1 = \dfrac{2}{3} $.

      Comme $ \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{2}{3} \leqslant 1 $, la propriété est vraie au rang $ 0 $.

      Hérédité.

      Supposons que la propriété $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie pour un certain entier naturel $ n $ et démontrons que la propriété est alors vraie au rang $ n+1 $.

      Si $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $, alors comme $ f $ est croissante sur $ ]-1~;~+\infty[ $ :

      $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1) $

      Or $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3} $, $ f(u_n)=u_{n+1} $, $ f(u_{n+1})=u_{n+2} $ et $ f(1)=\dfrac{2}{2}=1 $ donc :

      $ \dfrac{2}{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $

      et comme $ \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{2}{3} $ :

      $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $

      La propriété est donc vraie au rang $ n+1 $.

      Conclusion.

      La propriété $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie au rang $ 0 $ et elle est héréditaire ; par conséquent, elle est vraie pour tout entier naturel $ n $.

   2. D'après la question précédente, la suite $ (u_n) $ est croissante et majorée par $ 1 $, donc elle est convergente (théorème de convergence monotone).

2. 1. Pour montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique, on montre qu'il existe une constante $ q $ telle que, pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n+1} = q\,v_n $.

      $ \begin{aligned}v_{n+1}&=\dfrac{1}{u_{n+1}} - 1\\ &=\dfrac{u_{n}+1}{2u_{n}} - 1\\ &=\dfrac{u_{n}+1 - 2u_{n}}{2u_{n}}\\ &=\dfrac{1 - u_{n}}{2u_{n}}\\ &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1 - u_{n}}{u_{n}}\\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{u_{n}} - 1\right) \\ &=\dfrac{1}{2}v_{n}\end{aligned} $

      Donc la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{1}{2} $.

      Son premier terme est $ v_0 = \dfrac{1}{u_0} - 1 = 2 - 1 = 1 $.

   2. On en déduit que, pour tout entier naturel $ n $ :

      $ v_n = v_0\,q^n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{2^n} $

      De la relation $ v_n= \dfrac{1}{u_n} - 1 $, on déduit :

      $ \dfrac{1}{u_n} = v_n + 1 $
      $ u_n = \dfrac{1}{v_n + 1} $

      donc :

      $ \begin{aligned} u_n&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{n}}+1}\\ &=\dfrac{1}{\dfrac{1+2^{n}}{2^{n}}}\\ &=\dfrac{2^{n}}{1+2^n}\end{aligned} $

   3. Comme $ -1 < \dfrac{1}{2} < 1 $ :

      $ \lim\limits_{n\to +\infty }v_{n}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left( \dfrac{1}{2}\right)^{n}=0 $ (limite d'une suite géométrique).

      Comme $ u_n = \dfrac{1}{v_n + 1} $, on en déduit (par somme et par quotient) que la suite $ (u_n) $ converge vers $ \dfrac{1}{0+1} = 1 $.

Partie C

1. Soit $ a>0 $.

   D'après la définition de la limite, dire que la suite $ (u_n) $ converge vers $ 1 $ signifie qu'il existe un entier naturel $ p $ à partir duquel $ -a < u_n - 1 < a $ pour tout entier naturel $ n \geqslant p $.

   Or l'inégalité $ -a < u_n - 1 $ est équivalente à $ 1 - u_n < a $.

2. def rang(a):
       u = 1/2
       n = 0
       while 1 - u >= a:
           u = 2*u/(u+1)
           n = n + 1
       return n