Montrer qu’une suite est croissante (ou décroissante)
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Pour simplifier les explications, on supposera que les suites $ (u_n) $ étudiées ici sont définies pour tout entier naturel $ n $, c'est à dire à partir de $ u_0 $.
Les méthodes ci-dessous se généralisent facilement aux suites commençant à $ u_1 $, $ u_2 $, etc.
Rappel
On considère une suite $ (u_n) $ définie pour tout entier naturel $ n $.
- la suite $ \left(u_{n}\right) $ est croissante si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} \geqslant u_{n} $
- la suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} \leqslant u_{n} $
- la suite $ \left(u_{n}\right) $ est constante si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} = u_{n} $
- la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} > u_{n} $
- la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement décroissante si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} < u_{n} $
Première méthode
Étude du signe de $ u_{n+1} - u_{n} $
Méthode
On calcule $ u_{n+1} - u_{n} $ puis on étudie le signe du résultat.
- si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0 $, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est croissante
- si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0 $, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante
- si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} - u_{n} = 0 $, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est constante
- si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} - u_{n} > 0 $, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante
- si pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} - u_{n} < 0 $, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement décroissante
Remarque 1 : Pour l'étude du signe on n'oubliera pas que $ n $ étant un entier naturel, il est positif ou nul.
Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite $ (u_n) $ définie par $ u_n=( - 1)^n $).
Exemple
Étudier le sens de variation de la suite $ (u_n) $ définie pour tout $ n \in \mathbb{N} $ par $ u_n= \dfrac{n}{n+1} $.
Solution : On calcule $ u_{n+1} $ en remplaçant $ n $ par $ n+1 $ dans la formule donnant $ u_n $ :
$ u_{n+1}= \dfrac{n+1}{(n+1)+1}= \dfrac{n+1}{n+2} $.
Par conséquent :
$ u_{n+1} - u_n= \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} $
On réduit au même dénominateur :
$ u_{n+1} - u_n= \dfrac{(n+1)^2}{(n+2)(n+1)} - \dfrac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} $
$ u_{n+1} - u_n= \dfrac{n^2+2n+1}{(n+2)(n+1)} - \dfrac{n^2+2n}{(n+1)(n+2)} $
$ u_{n+1} - u_n= \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} $
Le numérateur et le dénominateur étant positifs (car $ n $ est un entier naturel) $ u_{n+1} - u_n >0 $ donc la suite $ (u_n) $ est strictement croissante.
Exemple
Montrer que la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0=0 $ et pour tout $ n \in \mathbb{N} $ : $ u_{n+1}= u_n+n - 1 $ est croissante pour $ n \geqslant 1 $.
Solution : $ u_{n+1} - u_n= (u_n+n - 1) - u_n=n - 1 $
$ u_{n+1} - u_n \geqslant 0 $ pour $ n \geqslant 1 $ donc la suite $ (u_n) $ est croissante à partir du rang 1.
Cas particulier 1 : Suites arithmétiques
Une suite arithmétique de raison $ r $ est définie par une relation du type $ u_{n+1}=u_n + r $.
On a donc $ u_{n+1} - u_n=r $
Résultat :
Une suite arithmétique est croissante (resp. décroissante) si et seulement si sa raison est positive (resp. négative).
Cas particulier 2 : Suites géométriques
On considère une suite géométrique de premier terme et de raison tous deux positifs.
Pour une suite géométrique de raison $ q $ : $ u_{n}=u_0 q^n $.
Par conséquent :
$ u_{n+1} - u_n=u_0 q^{n+1} - u_0 q^n = u_0 q^n(q - 1) $
$ u_{n+1} - u_n $ est donc du signe de $ q - 1 $ (puisqu'on a supposé $ u_0 $ et $ q $ positifs).
Résultat :
Une suite géométrique de raison $ q>0 $ et de premier terme $ u_0>0 $ est croissante (resp. décroissante) si et seulement si $ q \geqslant 1 $(resp. $ q \leqslant 1 $).
Deuxième méthode
Étude de fonction
Méthode
Si la suite $ (u_n) $ est définie par une formule explicite du type $ u_n=f(n) $, on peut étudier les variations de la fonction $ x \longmapsto f(x) $ sur $ [0; +\infty[ $
- si $ f $ est croissante (resp. strictement croissante), la suite $ \left(u_{n}\right) $ est croissante (resp. strictement croissante)
- si $ f $ est décroissante (resp. strictement décroissante), la suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante (resp. strictement décroissante)
- si $ f $ est constante, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est constante
Exemple
On reprend la suite $ (u_n) $ de l'exemple 1 définie pour tout $ n \in \mathbb{N} $ par $ u_n= \dfrac{n}{n+1} $.
Solution : On définit $ f $ sur $ [0 ; + \infty [ $ par $ f(x)= \dfrac{x}{x+1} $.
$ f^\prime (x)= \dfrac{1\times(x+1) - 1\times x}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0 $
$ f^\prime $ est strictement positive sur $ [0 ; + \infty [ $ donc la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ [0 ; + \infty [ $ et la suite $ (u_n) $ est strictement croissante.
Troisième méthode
Démonstration par récurrence
Remarque
La démonstration par récurrence n'est pas au programme de Première ; elle est abordée en Terminale. On l'utilise ici à titre culturel pour les suites définies par récurrence $ u_{n+1} = f(u_n) $.
Méthode
Si la suite $ (u_n) $ est définie par une formule par récurrence (par exemple par une formule du type $ u_{n+1}=f(u_n) $), on peut démontrer par récurrence que $ u_{n+1} \geqslant u_n $ (resp. $ u_{n+1} \leqslant u_n $) pour montrer que la suite est croissante (resp. décroissante)
Exemple
Soit la suite $ (u_n) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par $ u_0=1 $ et pour tout $ n \in \mathbb{N} $ : $ u_{n+1}=2u_n - 3 $.
Montrer que la suite $ (u_n) $ est strictement décroissante.
Solution : Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} < u_n $.
Initialisation : $ u_0=1 $ et $ u_1=2 \times 1 - 3= - 1 $
$ u_1 < u_0 $ donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que la propriété $ u_{n+1} < u_n $ est vraie pour un certain entier $ n $ et montrons que $ u_{n+2} < u_{n+1} $.
$ u_{n+1} < u_n \Rightarrow 2u_{n+1} < 2u_n $
$ \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow 2u_{n+1} - 3< 2u_n - 3 $
$ \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1} $
ce qui prouve l'hérédité.
Conclusion : Pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} < u_n $ donc la suite $ (u_n) $ est strictement décroissante.
Exemple
Soit la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0=0 $ et pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1}=u_n^3+u_n - 1 $.
Étudier le sens de variation de la suite $ (u_n) $.
Solution : Le calcul des premiers termes ($ u_0=0 $, $ u_1= - 1 $, $ u_2= - 3 $) laisse présager que la suite $ (u_n) $ est strictement décroissante.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} < u_n $.
Initialisation
$ u_0=0 $ et $ u_1= - 1 $.
$ u_1 < u_0 $ donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons que la propriété $ u_{n+1} < u_n $ est vraie pour un certain entier $ n $ et montrons que $ u_{n+2} < u_{n+1} $.
Posons $ f(x)=x^3+x - 1 $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.
Alors :$ f^\prime (x) = 3x^2+1 $ est strictement positif pour tout réel $ x $ donc la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.
Par conséquent :
$ u_{n+1} < u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) < f(u_n) $ puisque $ f $ est strictement croissante !
$ \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1} $
ce qui prouve l'hérédité.
Conclusion
Pour tout entier naturel $ n $ : $ u_{n+1} < u_n $ donc la suite $ (u_n) $ est strictement décroissante.