Continuité - dérivées - convexité
Exercices
Théorème de la bijection et tangente
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Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I= ]0~;~+\infty[ $ par :
$ f(x)=\sqrt{x} - \dfrac{1}{x} $
On note $ \mathscr C_f $ la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},\vec{j}) $ d'unité $ 1 $cm.
- Calculer $ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) $. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
- Calculer $ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $.
- Calculer $ f^{\prime}(x) $ et donner le sens de variations de la fonction $ f $ sur $ I $.
- Tracer la courbe $ \mathscr C_f $.
La courbe $ \mathscr C_f $ admet une tangente $ (T) $ qui passe par l'origine du repère. Tracer $ (T) $. - On note $ a $ l'abscisse du point d'intersection de la courbe $ \mathscr C_f $ et de la droite $ (T) $.
Montrer que $ \dfrac{\sqrt{a}}{2} - \dfrac{2}{a}=0 $ Soit $ g $ la fonction définie sur $ I $ par :
$ g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2} - \dfrac{2}{x} $Étudier le sens de variations de la fonction $ g $.
- Montrer que l'équation $ g(x)=0 $ admet une unique solution sur l'intervalle $ [2~;~3] $.
- Déduire des questions précédentes un encadrement de $ a $ d'amplitude $ 10^{ - 2} $.
Corrigé
- $ \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x}=0 $
$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}=+\infty $ (car $ x > 0 $ sur $ I $)
Par différence : $ \lim_{x \rightarrow 0} f(x)= - \infty $
La droite d'équation $ x=0 $, c'est à dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe $ \mathscr C_f. $ - $ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x}=+\infty $
$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}=0 $
Donc, par somme : $ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty $ - $ f $ est dérivable sur $ I= ]0~;~+\infty[ $ comme différence de fonctions dérivables sur $ I $.
La dérivée de la fonction $ x\longmapsto\sqrt{x} $ est la fonction $ x\longmapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $.
La dérivée de la fonction $ x\longmapsto\dfrac{1}{x} $ est la fonction $ x\longmapsto - \dfrac{1}{x^2} $.
Par conséquent :
$ f ^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2} $
$ f^{\prime} $ est la somme de deux fonctions strictement positives sur $ I $ donc est strictement positive sur $ I $.
Par conséquent, $ f $ est strictement croissante sur $ I $. En s'aidant de la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs, on obtient le graphique ci-dessous :
- $ (T) $ est la tangente à $ \mathscr C_f $ au point d'abscisse $ a $.
L'équation réduite de $ (T) $ est donc :
$ y=f^{\prime}(a)(x - a)+f(a) $
Cette droite passe par le point $ O(0;0) $ donc :
$ 0=f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a) $
Or :
$ f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a) = - af^{\prime}(a)+f(a) $
$ \phantom{f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a)} = \dfrac{ - a}{2\sqrt{a}}+\dfrac{ - a}{a^2}+\sqrt{a} - \dfrac{1}{a} $
$ \phantom{f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a)} = \dfrac{ - \sqrt{a}}{2}+\dfrac{ - 1}{a}+\sqrt{a} - \dfrac{1}{a} $
$ \phantom{f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a)} = \dfrac{\sqrt{a}}{2} - \dfrac{2}{a} $
Par conséquent :
$ \dfrac{\sqrt{a}}{2} - \dfrac{2}{a}=0 $ - $ g $ est dérivable sur $ I $ comme différence de fonctions dérivables sur $ I $ et :
$ g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{4\sqrt{x}}+\dfrac{2}{x^2} $
La fonction $ g^{\prime} $ étant strictement positive sur $ I $, $ g $ est strictement croissante sur $ I $. - $ g(2)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 \approx - 0{,}3 $
$ g(3)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{2}{3} \approx 0{,}2 $
La fonction $ g $ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $ [2~;~3] $. $ 0 $appartient à l'intervalle image $ [g(2)~;~g(3)] $, donc d'après le théorème de la bijection (aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $ g(x)=0 $ admet une unique solution sur l'intervalle $ [2~;~3] $. - Cette solution est aussi l'unique solution de cette équation sur l'intervalle $ I $ du fait de la stricte croissance de la fonction $ g $ sur $ I $.
Or, d'après la question 5. on sait que $ \dfrac{\sqrt{a}}{2} - \dfrac{2}{a}=0 $ c'est à dire $ g(a)=0 $. Cette unique solution est donc $ a $.
À la calculatrice, on trouve :
$ g(2{,}51) \approx - 0{,}005 < 0 $
$ g(2{,}52) \approx 0{,}00008 > 0 $
Par conséquent $ 2{,}51 \leqslant a \leqslant 2{,}52 $.